quaternions et rotations

bonjour,
ref: "Encore des maths !", d'Eric Sorosina; EdiScience;
Problème n°1 - Partie II- question II-5-c page 5

Un résultat me pose problème; je résume le contexte :

Soit IH, ensemble des quaternions; p= ae + bi + cj + dk;
IP, les quaternions purs; ie : a=0;
S, quaternions de norme 1; vérifiant donc : a^2+b^2+c^2+d^2=1

Pour q appartenant à S, on définit l'application s_q de IP dans IP par:
s_q(p)=qpq^{-1}.
On démontre que cette application est bien deIP dans IP, et que c'est une rotation dans \R^3, car dét(s_q)=1.

la question qui pose souci: montrer que si b,c,d sont trois réels tel que b^2+c^2+d^2=1, et si teta appartient à [0,2pi[, alors: s_q avec q=e.cos(teta/2) + (bi+cj+dk).sin(teta/2) est la rotation d'axe engendré par le vecteur q'=bi+cj+dk de \R^3 et d' angle teta.

Dans la correction,ES montre d'abord que s_q(q')=q' donc l'axe de rotation est engendré par q' , puis ES parvient (et je suis d'accord) à la relation:
s_q(p) = cos(teta) p + sin(teta) q'^p; [attention, ici, ^ signifie produit vectoriel].,enfin ES conclut: " donc, s_q a bien pour angle teta".

J'ai vérifié en prenant q'=k, teta=pi/2, p= i + k; j'obtiens :s_q(p)=j , alors que la rotation d'angle teta=pi/2, devrait donner Rot(p)= j+k.

puis, j'ai fait dans Monier Géométrie Tome7,l' exercice:2.1.8 p61 ; si f est une rotation d'axe u , (avec norme de u égale à1), et d'angle teta:alors,la rotation du vecteur x s'écrit:
f(x) = (x.u)u + cos(teta) [x - (x.u)u] + sin (teta) (u^x)
Nota: x et u sont respectivement les p et q' du problème initial.

En comparant les deux relations, on obtient :
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) chez Sorosina
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) + (x.u)u [1- cos(teta)] chez Monier

Il est donc possible que le résultat de cette question ne soit pas juste.
Mon espoir : que quelqu'un ait déjà fait ce problème intéressant, car je m'aperçois que ma question est interminable.
Rem: la partie III démontre le théorème des quatre carrés à l'aide des quaternions.

c'est très (trop) long, merci beaucoup pour les réponses éventuelles.