quaternions et rotations
bonjour,
ref: "Encore des maths !", d'Eric Sorosina; EdiScience;
Problème n°1 - Partie II- question II-5-c page 5
Un résultat me pose problème; je résume le contexte :
Soit IH, ensemble des quaternions; p= ae + bi + cj + dk;
IP, les quaternions purs; ie : a=0;
S, quaternions de norme 1; vérifiant donc : a^2+b^2+c^2+d^2=1
Pour q appartenant à S, on définit l'application s_q de IP dans IP par:
s_q(p)=qpq^{-1}.
On démontre que cette application est bien deIP dans IP, et que c'est une rotation dans \R^3, car dét(s_q)=1.
la question qui pose souci: montrer que si b,c,d sont trois réels tel que b^2+c^2+d^2=1, et si teta appartient à [0,2pi[, alors: s_q avec q=e.cos(teta/2) + (bi+cj+dk).sin(teta/2) est la rotation d'axe engendré par le vecteur q'=bi+cj+dk de \R^3 et d' angle teta.
Dans la correction,ES montre d'abord que s_q(q')=q' donc l'axe de rotation est engendré par q' , puis ES parvient (et je suis d'accord) à la relation:
s_q(p) = cos(teta) p + sin(teta) q'^p; [attention, ici, ^ signifie produit vectoriel].,enfin ES conclut: " donc, s_q a bien pour angle teta".
J'ai vérifié en prenant q'=k, teta=pi/2, p= i + k; j'obtiens :s_q(p)=j , alors que la rotation d'angle teta=pi/2, devrait donner Rot(p)= j+k.
puis, j'ai fait dans Monier Géométrie Tome7,l' exercice:2.1.8 p61 ; si f est une rotation d'axe u , (avec norme de u égale à1), et d'angle teta:alors,la rotation du vecteur x s'écrit:
f(x) = (x.u)u + cos(teta) [x - (x.u)u] + sin (teta) (u^x)
Nota: x et u sont respectivement les p et q' du problème initial.
En comparant les deux relations, on obtient :
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) chez Sorosina
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) + (x.u)u [1- cos(teta)] chez Monier
Il est donc possible que le résultat de cette question ne soit pas juste.
Mon espoir : que quelqu'un ait déjà fait ce problème intéressant, car je m'aperçois que ma question est interminable.
Rem: la partie III démontre le théorème des quatre carrés à l'aide des quaternions.
c'est très (trop) long, merci beaucoup pour les réponses éventuelles.
ref: "Encore des maths !", d'Eric Sorosina; EdiScience;
Problème n°1 - Partie II- question II-5-c page 5
Un résultat me pose problème; je résume le contexte :
Soit IH, ensemble des quaternions; p= ae + bi + cj + dk;
IP, les quaternions purs; ie : a=0;
S, quaternions de norme 1; vérifiant donc : a^2+b^2+c^2+d^2=1
Pour q appartenant à S, on définit l'application s_q de IP dans IP par:
s_q(p)=qpq^{-1}.
On démontre que cette application est bien deIP dans IP, et que c'est une rotation dans \R^3, car dét(s_q)=1.
la question qui pose souci: montrer que si b,c,d sont trois réels tel que b^2+c^2+d^2=1, et si teta appartient à [0,2pi[, alors: s_q avec q=e.cos(teta/2) + (bi+cj+dk).sin(teta/2) est la rotation d'axe engendré par le vecteur q'=bi+cj+dk de \R^3 et d' angle teta.
Dans la correction,ES montre d'abord que s_q(q')=q' donc l'axe de rotation est engendré par q' , puis ES parvient (et je suis d'accord) à la relation:
s_q(p) = cos(teta) p + sin(teta) q'^p; [attention, ici, ^ signifie produit vectoriel].,enfin ES conclut: " donc, s_q a bien pour angle teta".
J'ai vérifié en prenant q'=k, teta=pi/2, p= i + k; j'obtiens :s_q(p)=j , alors que la rotation d'angle teta=pi/2, devrait donner Rot(p)= j+k.
puis, j'ai fait dans Monier Géométrie Tome7,l' exercice:2.1.8 p61 ; si f est une rotation d'axe u , (avec norme de u égale à1), et d'angle teta:alors,la rotation du vecteur x s'écrit:
f(x) = (x.u)u + cos(teta) [x - (x.u)u] + sin (teta) (u^x)
Nota: x et u sont respectivement les p et q' du problème initial.
En comparant les deux relations, on obtient :
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) chez Sorosina
f(x) = cos(teta) x + sin(teta) (u^x) + (x.u)u [1- cos(teta)] chez Monier
Il est donc possible que le résultat de cette question ne soit pas juste.
Mon espoir : que quelqu'un ait déjà fait ce problème intéressant, car je m'aperçois que ma question est interminable.
Rem: la partie III démontre le théorème des quatre carrés à l'aide des quaternions.
c'est très (trop) long, merci beaucoup pour les réponses éventuelles.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
il me semble que c'est bien fait dans le livre de Romain Vidonne "groupe circulaire, rotations et quaternions" et c'est juste
je te remercie pour avoir lu mon message ( indigeste sans Latex) et pour cette référence dont j'ignorais l'existence; reste à me procurer ce livre.
Que l'application $s_q$ ainsi définie soit réellement une rotation de IR^3 me rassure, mais la démonstration de l'auteur ne me paraît pas convaincante. Comme Eric Sorosina ( professeur au Lycée Charles de Gaulle à Londres) propose dans sa préface de lui faire part des remarques éventuelles, je vais lui écrire chez Dunod.
Sinon, les 14 problèmes de son recueil sont délicieux.