applications linéaires
Bonjour, j'ai un exercice à vous proposer pour lequel j'ai du mal à trouver sa solution :
Soient E et F et G trois espaces vectoriels et f appartient à l'ensemble des applications linéaires de E dans F et g appartient à l'ensemble des applications linéaires de F dans G
montrer que dim(Imf l'intersection kerg)=rgf-rg(gof)
Merci d'avance
[J'ai ramené le niveau à L1/L2. AD]
Soient E et F et G trois espaces vectoriels et f appartient à l'ensemble des applications linéaires de E dans F et g appartient à l'ensemble des applications linéaires de F dans G
montrer que dim(Imf l'intersection kerg)=rgf-rg(gof)
Merci d'avance
[J'ai ramené le niveau à L1/L2. AD]
Réponses
-
Salut,
$ g\left(\text{Im}(f)\cap\text{Ker}(g)\right)\,=\,\text{Im}(gof) $ -
$g(\mathrm{Ker}g)=\{0\}$ donc $g(\mathrm{Ker}g\cap\text{n'importe quel sev})=\{0\}$
$\mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}g\rvert_{\mathrm{Im}f}$ -
On applique le théorème du rang à $f$, $g \circ f$ et l'application $\varphi$ suivante :
$\varphi :\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{Ker(g \circ f)} & \to & F \\
x & \mapsto & {f(x)} \\
\end{array}} \right.$
On trouve successivement :
$dim(E) = rg(f) + dim Ker(f)$
$dim(E) = rg(g \cric f) + fim Ker(g \circ f)$
$dim Ker(g\circ f) = dim Ker(f) + dim ( Im(f) \cap Ker(g) )$
la dernière égalité venant du fait que $Im \varphi = Im(f) \cap Ker(g)$ et que $Ker \varphi = Ker(f)$ (facile).
Tout ça mis bout à bout permet de conclure.
Cordialement,
Richard -
merci pour vos réponse ,j'ai une petite question est ce le fait d'être en dimension infinie ne pose pas de probléme puisque d'aprés mes connaissances le théoréme du rang ne s'applique qu'en dimension finie
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Bonjour!
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