applications linéaires

Salut,
$ g\left(\text{Im}(f)\cap\text{Ker}(g)\right)\,=\,\text{Im}(gof) $

On applique le théorème du rang à $f$, $g \circ f$ et l'application $\varphi$ suivante :

$\varphi :\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{Ker(g \circ f)} & \to & F \\
x & \mapsto & {f(x)} \\
\end{array}} \right.$

On trouve successivement :

$dim(E) = rg(f) + dim Ker(f)$
$dim(E) = rg(g \cric f) + fim Ker(g \circ f)$
$dim Ker(g\circ f) = dim Ker(f) + dim ( Im(f) \cap Ker(g) )$

la dernière égalité venant du fait que $Im \varphi = Im(f) \cap Ker(g)$ et que $Ker \varphi = Ker(f)$ (facile).

Tout ça mis bout à bout permet de conclure.

Cordialement,

Richard