intersection d'idéaux maximaux

e=mc3 · August 2006

Bonjour
dans le Goblot Algèbre commutative dernière édition p70 lemme 3.4 il y a un certain nombre de choses qui m'intriguent. Entre autre

a) l'intersection de deux idéaux maximaux est réduite à zéro. Il doit y avoir un lien avec la structure d'algère je suppose, sinon je ne vois pas pourquoi on aurait inventé la notion de radical de Jacobson

b)dans la troisième alernative on écrit l'algèbre comme somme directe de son corps de base et d'un idéal maximal. IL y a des isomorphismes la dedans parce que je ne vois pas comment le corps de base, disons K, peut être inclus dans l'algèbre, disons R

e=mc3 · August 2006

POur ceux qui n'ont pas le Goblot je précise un peu mieux le contexte
On se donne une algèbre de type fini R de rang 2 sur un corps K

dans le a) on se place dans le cas où cette algèbre contient deux et deux seulement idéaux maxmiaux

dans l b) on se place dans le où l'algèbre ne contient qu'un seul idéal maximal

rajoute que l'algèbre est finie de rang 2 ce qui a à mon avis son importance.

Bruno · August 2006

Bonjour e=mc3.

Pourrais-tu me préciser ce qu'est le rang d'une algèbre sur un corps ?

Bruno

e=mc3 · August 2006

le rang d'une algèbre est le nombre minimal d'éléments permettant d'engendrer l'algèbre. Par exemple sur $\K [X]$ (1,X) est une générateur donc l'algèbre est de rand 2 (alors que l'espace vectoriel est de dimension infini)

La différence par rapport à la notion de partie génératrice d'un module (resp. espace vectoriel) est que l'on s'autorise plus que les combinsaisons linéaires (à coef dans l'anneau (resp corps) des scalaires) des vecteurs générateurs: on s'autorise les les puissances des ces vecteurs (il s'agit de la multiplication pour la structure d'anneau sous jacente).

Bruno · August 2006

Merci.

Je vais y réfléchir maintenant.

Bruno

Bruno · August 2006

Pour ta seconde question, si $A$ est une $K$-algèbre, désignons par $1_a$ l'élément neutre de $A$, l'application $\phi : K \longrightarrow A$ définie par $$\forall\,k \in K \quad \phi(k) = k\,1_a$$est un morphisme d'anneaux unitaires et comme $K$ est un corps, ce morphisme est injectif, donc $A$ contient un sous-corps canoniquement isomorphe à $K$.

Pour ta première question, si ton algèbre est de degré $2$, cela signifie que c'est un quotient de l'anneau $K[X,Y]$ lequel est un anneau factoriel puisque $K$ est un corps. Dans un anneau factoriel, tout idéal ne serait-il pas l'intersection des idéaux maximaux qui le contiennent ? Sinon, ne serait-ce pas le cas pour $K[X,Y]$ ?

Bien entendu, pour cette question $1$, cela repose sur l'idée qu'on travaille en commutatif.

Bruno

e=mc3 · August 2006

Merci Bruno

"Dans un anneau factoriel tout idéal est égal à l'intersection des idéaux maximaux qui le contiennent". C'est un résultat classique? J'ai cherché des référérences dans les ouvrages que j'ai sous la main (GOurdon, Perrin, Demazure, Malliavin, Saux Picart etc) je n'ai pas vu ce résultat et notamment pas dans le Goblot.
Je n'ai pas eu le temps de chercher à vérifier si c'est vrai, mais si tel est le cas tout ce que tu dis ça fait beaucoup de sous entendus dans la démo de Goblot pour le 1)

Airy · August 2006

Je pense que cela doit être lié à la nature de l'anneau.

Dans un anneau principal, cela m'a l'air d'être vrai.

Je ne résiste pas à rappeler ce joli résultat:

$Soit A un anneau. Si x \ Rad(A)$, alors $1-x$ est inversible.

Sauf erreurs.

Airy.

Don't dream it, be it.

Bruno · August 2006

Bonjour e=mc3.

Si tu n'as pas trouvé de référence au résultat que je conjecturais, laissons tomber, il est probablement faux.

De toutes façons voilà la situation : ton algèbre de degré $2$ $(A)$ est un quotient $K[X,Y]/\mathfrak J$ où $\mathfrak J$ est un idéal de $K[X,Y]$. Si $A$ n'a que deux idéaux maximaux, cela signifie que $\mathfrak J$ est inclus dans deux idéaux maximaux exactement. Il reste à montrer que $\mathfrak J$ est l'intersection de ces deux idéaux. La seule particularité de $K[X,Y]$ à laquelle je pense c'est son caractère d'anneau factoriel.

Maintenant, l'indication d'Airy ne paraît pas dénuée d'intérêt.

Bruno

dSP0 · August 2006

Le résultat est effectivement faux :
par exemple :
- dans $K[X]$, l'idéal $(X^2)$
n'est pas l'intersection des idéaux maximaux qui le contiennent
(le seul idéal maximal qui le contient est $(X)$)

- dans $K[X,Y]$, l'idéal $(X^2,Y)$ n'est pas l'intersection des idéaux maximaux
qui le contiennent (le seul idéal maximal qui le contient est $(X,Y)$).

Bruno · August 2006

Merci pour ces deux contre-exemples dsP.

Bruno

Airy · August 2006

Quelques remarques :

La "propriété" dont je parlais est la celui selon lequel {\it "l'intersection de deux idéaux maximaux est réduite à zéro"}.

De plus, j'ai mal lu, j'ai compris {\it "l'intersection de {\bf tous} les idéaux maximaux est réduite à zéro"}.(confirmée par l'évocation du radical d'un anneau).

D'ailleurs, "dès" l'exemple de $\Z$, on peut trouver des exemples d'idéaux maximaux dont l'intersection n'est pas réduite à zéro.

Sauf erreurs, $p \Z \bigcap q\Z$ =$pq \Z$, avec ($p$ et $q$ deux nombres premiers distincts).

Ou alors, je n'ai rien compris à la question initiale.

Airy.

Don't dream it, be it.

e=mc3 · August 2006

pour Airy

$\Z$ n'est pas une algèbre sur un corps mais sur une anneau
ton contre exemple montre qu'il est fondamental quel les scalaires soient munis d'une structure de corps

(remarque:
A noter que dans certains ouvrages les algèbres sont forcément sur des corps.)

vue que Goblot écrit directement la somme directe (l'algère est somme directe de ses deux idéaux maximaux) sans aucune justification ca doit être vraisemblablement plus simple que ca en a l'air, mais je ne vois pas

Airy · August 2006

O.k. merci, je ne connaissais pas.

Je me disais bien que le contre-exemple était trop trivial pour que tu ne le vois pas.

Airy (rassuré).

e=mc3 · August 2006

Je pense avoir trouvé la piste

en lisant la démo de GOblot j'ai vu qu'à un moment donné il nous dit que les idéaux maximaux sont des droites vectorielles. Ma question devient alors évidente:

$M_1=\K e_1$
$M_2=\K e_2$

$e_1$ et $e_2$ sont non colinéaires puisque l'on a deux idéaux maximaux (et qu'ils sont distincts!) donc
$x\in M_1\cap\M_2 => x=0$

Maintenant la question est pourquoi les idéaux maximaux sont ils des sous espaces vectoriels. La définition d'un idéal ne fait pas intervenir une loi de composition externe, ou alors comme je l'avais dit dans mon premier message et comme l'a rappelé Bruno il y a un isomorphisme: on identifie K comme un sous anneau de de R par isomorphisme et alors effectivement un idéal peut être considéré comme un sous espace vectoriel

Reste plus qu'à montrer qu'il s'agit de droites vectorielles

e=mc3 · August 2006

j'ai en fait le sentiment que ce Goblot appelle le rand de l'algèbre c'est en fait sa dimension

en tous les cas le fait d'écrire

$R=M_1 \oplus \M_2$

implique que R est de dimension 2. SI tel est le cas alors le fait que les idéaux maximaux sont des droites vectorielles est évident. Sinon il faudrait démontrer que la présence de deux et deux seulement idéaux maximaux +le fait qu'on a un rand 2=>dimention =2

e=mc3 · August 2006

Un autre truc que j'ai du mal à saisir: si R est de dimension 2 et ne contient que 2 idéaux maximaux $\Ke_1$ et $\Ke_2$ avec $e_1,e_2$ base de R en tant qu'espace vectoriel alors $K (e_1+e_2)$ est une 3ème droite vectorielle qui risque d'être distincte sauf dans des cas particuliers que je n'ai pas en présence à l'esprit. Par exemple si $\K$=\R$ et $R=\R^2$ j'ai une infinité de droites vectorielles donc une inifinité d'idéaux maximaux non?

Or d'après Goblot il n'y a que trois cas de figure possible:{0},1 idéal maximal non nul ou deux idéaux maximaux.

POur être franc je n'y comprends pas grand chose. La structure d'algèbre est peut être trop riche pour mon petit cerveau qui n'es pas habitué à manipuler de front structure d'anneaux/ idéaux et espaces vectorirels/sous espaces vectoriels

J'ai vraiment besoin de votre aide car le nuage s'épaissit peu à peu.

e=mc3 · August 2006

Je viens de changer le sujet du poste et j'ai rajouté "dans une algèbre de type fini" histoire de susciter un peu plus d'intérêt.

e=mc3 · August 2006

Mais apparemment il n'est pas possible à l'auteur de changé le titre du sujet une fois celui-ci créé. Donc si un modérateur a le temps et la possibilité technique de rajouter "dans une algèbre de type fini" au titre de ce poste qu'il en soit remercié d'avance.

intersection d'idéaux maximaux

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