construction d'endomorphisme
bonjour,j'ai une question qui me pose probléme: E est un espace vectoriel de dimension n F et G sont deux sous espaces vectoriels de E verifiant :
dimF+dimG=dimE montrer qu'il existe un endomorphisme f de E tel que
Kerf=F et Imf=G .mon probléme avec les questions ou on doit construire une base ou un endomorphisme ou.... c'est que ne sais pas par quoi commencer merci d'avance
dimF+dimG=dimE montrer qu'il existe un endomorphisme f de E tel que
Kerf=F et Imf=G .mon probléme avec les questions ou on doit construire une base ou un endomorphisme ou.... c'est que ne sais pas par quoi commencer merci d'avance
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Réponses
Fais une analyse du problème : supposons que $f_0$ soit un endomorphisme de $E$ vérifiant les conditions. compare les dimensions de $G$ et d'un supplémentaire de $F$.
Bruno
On est en dimension finie donc :
$F$ a un supplémentaire que l'on note $H$, on a alors : $dim(G)=dim(H)$ qui sont donc deux ev isomorphes ( on est en dimension finie ) à partir d'un isomorphisme $f^\sim : H \longrightarrow G$ on construit l'endomorphisme demandé
Tomari a répondu pour moi :-)
Pour soso, On a montré l'existence d'un endomorphisme répondant à l question, tout le reste est superfétatoire.
Bruno
Bruno
Pour en revenir à l'idée de Soso de définir $f$ sur une base de $E$, on peut procéder comme suit :
On considère une base $(e_i)_{i=1,\dots,s}$ de $F$ (avec $s=dim(F)$). On complète la base $(e_i)$ en une base $B$ de $E$ : $B = ((e_i)_{i=1,\dots,s},(h_j)_{j=1,\dots,t})$ où $t = dim(E) - dim(F) = dim(G)$.
Soit maintenant $(g_j)_{j=1,\dots,t}$ une base de $G$.
On peut maintenant définir l'endomorphisme $f$ défini sur la base $B$ de $E$ comme suit :
$f(e_i) = 0$ pour $i=1,\dots,s$
$f(h_j) = g_j$ pour $j=1,\dots,t$.
Cordialement,
Ritchie