Dans mon précis il est écrit que "les notions d'ensemble et de sous-ensemble (ou partie ) d'un ensemble sont des notions premières".
=> On ne peut donc pas définir mathématiquement ces notions ?
2100 ans après Euclide qui avait défini le point comme ce qui n'a pas de partie, Cantor a donné une définition d'un ensemble : groupement en un tout d'objets bien distincts de notre entendement ou de notre intuition.
Mais pour calmer tous ces esprits facétieux et espiègles qui s'enhardissaient et commençaient à demander : qu'est-ce qu'un groupement ? Qu'est-ce que l'entendement ?
on a décrété que c'était une notion primitive, indéfinissable
Toute théorie formelle a des notions et des objets premiers que l'on ne peut définir. Si tu y réfléchis, un dictionnaire n'est qu'un ensemble de mots circulairement définis : "Chose" voir "objet" ; "Objet" voir ... Bien entendu, les auteurs de dictionnaires remédient à cette lacune par l'usage d'exemples convenablement choisis.
La théorie des ensembles (naïve ou formelle) a pour notions premières la notion d'ensemble et la relation d'appartenance. La notion de sous-ensemble est parfaitement définie :
$$(x \subset y) \iff (\forall\,z \quad z \in x \Longrightarrow z \in y)$$
Tu constates que dans le second membre, les seul symboles qui y figurent sont le symbole primitif "$\in$" et les symboles du langage : deux variables, un quantificateur et un connecteur. On a donc une définition de la relation d'inclusion et l'on peut conclure par : "{\it On dit que $x$ est un sous-ensemble de $y$ si $x \subset y$}". Il n'y a là dedans aucun cercle vicieux.
Merci à GG et Bruno pour vos explications.
Dans mes rêveries je m'imaginais ce que pouvait être un ensemble, ce qu'il pouvait contenir, les frontières de parties, ... mis à part ce fameux cercle avec quelques croix dedans.
Somme toute, rien de bien grave.
Réponses
Si
2100 ans après Euclide qui avait défini le point comme ce qui n'a pas de partie, Cantor a donné une définition d'un ensemble : groupement en un tout d'objets bien distincts de notre entendement ou de notre intuition.
Mais pour calmer tous ces esprits facétieux et espiègles qui s'enhardissaient et commençaient à demander : qu'est-ce qu'un groupement ? Qu'est-ce que l'entendement ?
on a décrété que c'était une notion primitive, indéfinissable
Toute théorie formelle a des notions et des objets premiers que l'on ne peut définir. Si tu y réfléchis, un dictionnaire n'est qu'un ensemble de mots circulairement définis : "Chose" voir "objet" ; "Objet" voir ... Bien entendu, les auteurs de dictionnaires remédient à cette lacune par l'usage d'exemples convenablement choisis.
La théorie des ensembles (naïve ou formelle) a pour notions premières la notion d'ensemble et la relation d'appartenance. La notion de sous-ensemble est parfaitement définie :
$$(x \subset y) \iff (\forall\,z \quad z \in x \Longrightarrow z \in y)$$
Tu constates que dans le second membre, les seul symboles qui y figurent sont le symbole primitif "$\in$" et les symboles du langage : deux variables, un quantificateur et un connecteur. On a donc une définition de la relation d'inclusion et l'on peut conclure par : "{\it On dit que $x$ est un sous-ensemble de $y$ si $x \subset y$}". Il n'y a là dedans aucun cercle vicieux.
Bruno
Merci à GG et Bruno pour vos explications.
Dans mes rêveries je m'imaginais ce que pouvait être un ensemble, ce qu'il pouvait contenir, les frontières de parties, ... mis à part ce fameux cercle avec quelques croix dedans.
Somme toute, rien de bien grave.
Christophe.