Définition

Sirhc · August 2006

Bonjour.

1 petite question :

Dans mon précis il est écrit que "les notions d'ensemble et de sous-ensemble (ou partie ) d'un ensemble sont des notions premières".
=> On ne peut donc pas définir mathématiquement ces notions ?

Christophe.

Richard André-Jeannin · August 2006

La théorie "naïve" des ensembles, c'est bien suffisant. Sauf si vous aimez enc.. les mouches.

GG · August 2006

Salut,

Si

2100 ans après Euclide qui avait défini le point comme ce qui n'a pas de partie, Cantor a donné une définition d'un ensemble : groupement en un tout d'objets bien distincts de notre entendement ou de notre intuition.

Mais pour calmer tous ces esprits facétieux et espiègles qui s'enhardissaient et commençaient à demander : qu'est-ce qu'un groupement ? Qu'est-ce que l'entendement ?
on a décrété que c'était une notion primitive, indéfinissable

Bruno · August 2006

Bonjour.

Toute théorie formelle a des notions et des objets premiers que l'on ne peut définir. Si tu y réfléchis, un dictionnaire n'est qu'un ensemble de mots circulairement définis : "Chose" voir "objet" ; "Objet" voir ... Bien entendu, les auteurs de dictionnaires remédient à cette lacune par l'usage d'exemples convenablement choisis.

La théorie des ensembles (naïve ou formelle) a pour notions premières la notion d'ensemble et la relation d'appartenance. La notion de sous-ensemble est parfaitement définie :
$$(x \subset y) \iff (\forall\,z \quad z \in x \Longrightarrow z \in y)$$
Tu constates que dans le second membre, les seul symboles qui y figurent sont le symbole primitif "$\in$" et les symboles du langage : deux variables, un quantificateur et un connecteur. On a donc une définition de la relation d'inclusion et l'on peut conclure par : "{\it On dit que $x$ est un sous-ensemble de $y$ si $x \subset y$}". Il n'y a là dedans aucun cercle vicieux.

Bruno

Sirhc · August 2006

Bonjour.

Merci à GG et Bruno pour vos explications.
Dans mes rêveries je m'imaginais ce que pouvait être un ensemble, ce qu'il pouvait contenir, les frontières de parties, ... mis à part ce fameux cercle avec quelques croix dedans.
Somme toute, rien de bien grave.

Christophe.

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