matrices semblables

Phil11 · August 2006

Bonjour,

Montrer que M et N sont semblables.

$M\begin{pmatrix} \\\\
1& -2 & 1\\ \\\\
0& 0 & 0\\ \\\\
-1 & 2 & -1 \\\\
\end{pmatrix} $

$N\begin{pmatrix} \\\\
0& -3 & 0\\ \\\\
0& 0 & 0\\ \\\\
0 & -3 & 0 \\\\
\end{pmatrix} $

Je ne vois pas comment M et N peuvent être semblable alors que M n'est pas diagonalisable.

Tout aide est la bienvenue

Merci

Nunuche0 · August 2006

Es-tu certain de l'énoncé ?

Au fond, existe t-il une matrice $P$, de même type de $M$ et $N$, telle que$$MP=PN$$Toutefois, la matrice $P$ n'est pas inversible. Il y a quelque chose qui me tracasse.

Phil11 · August 2006

Oui moi aussi ça me tracasse.
C'est un sujet d'examen, le voici: 4958

Phil11 · August 2006

J'ai réussi jusqu'à la question 13, c'est la 14 qui me pose problème.

Si vous pensez que des resultats des questions précedents peuvent etre utile pour la question 14, dite le moi et je les mettrai.

(c'est comme même bizzare qu'une matrice non diagonalisable soit semblable à une autre matrice, non ?)

Tout aide est la bienvenue.

Merci

Utilisateur anonyme · August 2006

Bonjour ,
non ce n'est pas bizarre du tout:
etre semblables signifie juste qu'il existe P inversible telle que N=P^-1*M*P

Aucune notion de diagonalisabilité là dedans ...
Tu dois juste trouver une nouvelle base (u,v,w) dans laquelle la matrice de l'application lineaire f definie par M serait la matrice N (en particulier , u et w appartiennent à ker f)

Phil11 · August 2006

Merci Pitchou pour ta réponse,

J'ai suivi ton conseil, soit trouver une nouvelle base (u,v,w) où u et w appartiennent à ker f

Comme f est bijective alors ker(f) est réduit à 0 donc on aurait une matrice P de la forme:
$P\begin{pmatrix} \\\\\\
0& a & 0\\ \\\\\\
0& b & 0\\ \\\\\\
0 & c & 0 \\\\\\
\end{pmatrix} $

P-1.M.P=0 et non N.

Merci de me signaler les erreurs ou améliorations

Utilisateur anonyme · August 2006

Ton application n'est pas du tout bijective, la preuve: le noyeu est le plan d'equation x-2y+z=0
Il existe donc bien deux vecteurs non colineaires u et w dans le noyau, il ne te reste plus qu'à completer ta base avec un vecteur v tel que f(v)=-3u-3w

laurent salvador · August 2006

question 14.

M est mat de g dans B

et N est mat de g dans B'

c'est un changement de base

donc N = P-1 M P

où P est mat de B' dans B

OK si tu prends un vecteur x dans R3 identifié à la colonne

et tu calcule N x = P-1MP x

OR Nx c'est la matrice colonne de x dans B
PUIS MPx c'est la matrice colonne de g(x) dans B
Puis on change de base et P-1(MPx) c'est la
matrice de g(x) dans B' ie N x

en effet P-1 c'est mat de B dans B'.

c'est du cours , c'est la formule de changement de base.

tu as d'autres questions?

laurent.

Phil11 · August 2006

Merci Laurent pour ta réponse,

Mais mon gros problème dans cette question (14), est que je n'arrive pas à trouver la matrice P.

Comment faire pour la trouver ?

Pour la question 17, j'ai aussi un peu de mal.

Voici mon raisonnement:

Montrons par récurrence que pour tout n>=1: $A^n=S^n +nMS^{n-1}$

Initialisation:

Pour n=1, on a bien A= S+M (d'après enoncé)

Hérédité:

Supposons la relation vraie pour un n donnée, est elle vraie au rang suivant ? càd $A^{n+1}=S^{n+1} + (n+1)MS^n$

$A^{n+1}=A^n.A=(S^n +nMS^{n-1}).(S+M)=S^{n+1} + nMS^n +S^n.M + nMS^{n-1}.M$

donc il faut montrer que $(n+1)MS^n=nMS^n +S^n.M + nMS^{n-1}.M$ , et c'est là que je bloque.

Merci

laurent salvador · August 2006

P c'est B' dans B
et tuas calculé B' c'est la base de vecteurs propres pour S
c'est Q tout simplement.

et pour la 17 tu peux le faire comme tu as fait et user de M²=0
ou user dela formule du binome.

Phil11 · August 2006

Merci Laurent pour ton aide,

Malgrés toutes tes indications, lorsque je fais la calcul

$Q^{-1}.M.Q$ je ne retombe pas sur N.
où ^

$Q^{-1}\begin{pmatrix} \\\\\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \\\\\\
\frac{-1}{3}& \frac{2}{3} & \frac{-1}{3}\\ \\\\\\
\frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} \\\\\\
\end{pmatrix} $

$Q\begin{pmatrix} \\\\\\
1& -1 & -1\\ \\\\\\
1& 1 & 0\\ \\\\\\
1 & 0 & 1 \\\\\\
\end{pmatrix} $

Je ne comprends plus!!!

Pour la question 17)

Peut on dire que:
$S^n.M + nMS^{n-1}.M = MS^n +nM^2S^{n-1}$

or comme $M^2=0$ alors on a: $S^n.M + nMS^{n-1}.M = MS^n $

et on aura la relation cherché.
Mais je ne pense pas qu'on est le droit de faire, car le produit de matrice n'est pas commutative.

Merci