IR : extension finie ?

Lebesgue0 · August 2006

Bonjour à tous,

Hier je suis allé faire un tour dans ma prépa (pour donner les exos que j'ai eu aux oraux à un prof), et voila qu'il me fait lui-même passer une colle ! Moi qui croyait en être débarrassé... J'ai du montré que R n'était pas une extension de degré 2 d'un sous-corps.
Il m'a dit qu'il ne connaissait pas la réponse en remplaçant "quadratique" par "finie". J'y ai réfléchis chez moi, et voila ce que j'ai trouvé ; dites-moi si c'est pertinent ou pas :

Supposons que R = K[a] où K est un sous-corps de R et a un élément de R algèbrique sur K de degré n > 1. On considère le polynôme minimal de a sur K, qu'on note P(X). Soit b est une racine complexe de P(X) différente de a. Si b est dans R, on sait qu'il existe un K-automorphisme f de R appliquant a sur b. Or le seul automorphisme de R est l'identité, c'est donc une contradiction. Remarquons que cela règle la question des extensions de degré pair, car un polynôme à racines simples (dans C) de R[X] de degré pair possédant une racine dans R en possède une autre. Or P étant un polynôme minimal, il est à racine simple (dans C).
n est donc nécessairement impair et R n'est pas une extension normale de K.
Je n'arrive pas à traiter le cas n impair. On peut trouver des informations sur les racines complexes de P(X). Par exemple, leur module est le cosinus de leur argument ne sont pas dans K, mais le rapport des deux est dans K, etc.

Si vous avez des idées, pourriez-vous les transmettre ici ?

Merci

Lebesgue

Lebesgue0 · August 2006

J'ai oublié de préciser que si R est une extension finie de K, R peut s'écrire K[a] d'après le théorème de l'élément primitif.

laurent salvador · August 2006

Je suis tout à fait d'accord avec ton raisonnement
pour le cas impair il ya au moins une racine réelle
j'ai pensé faire intervenir une racine complexe z de Mx,K(X)
et considérer K(x,z)=IR(z)=C et utiliser que les auto de C sont id et conjugaison .
Ensuite les K automorphismes de C sont définis par l'image de x et z
qui sont conjugués sur K donc x est envoyé sur un conjugué et z aussi
il y aurait en particulier le cas x sur z et z envoyé sur x qui corresponds
à la permutation des deux du groupe de galois de C sur K.
C'est un auto de C et ce n'est pas id et la conjugaison
contradiction!
yes!
je ne vois pas d'erreur subtile, qu'en penses tu ?
laurent.

j'en profite pour faire de la pub pour :

http://www.unsitedemaths.com

à vite.

laurent salvador · August 2006

Attention ya un os !
tu le vois ?

naos · August 2006

Bonsoir,

Depuis quand on fait la théorie de Galois en spé ? Ou étais-tu pour avoir cette chance ?

cordialement

laurent salvador · August 2006

j'en ai fait en licence et je n'ai fait que sup
mais je sais que la théorie des corps a fait l'objet d'un sujet de polytechnique une année
ya presque pas de galois c'est de la théorie des coprs c'est tout.
de quel oral s'agissait til?
oh fait c'est juste mais ya un os ? alors ?

François Frédéric · August 2006

Je m'excuse, j'ai écrit les degrés des extensions à l'envers. Les deux derniers messages peuvent être supprimés. Voici le définitif:

Bonsoir tout le monde,

On peut voir qu'il suffit de prouver que $k$ est fermé dans $\R$ car c'est évidemment un sous-groupe de $\R$ qui n'est pas de la forme $n\Z$ (car il doit y avoir des inverses) donc $k$ est dense dans $\R$.

On peut aussi le voir autrement, en se donnant $b$ une racine du polynôme minimal $P$ de $a$ sur $k$. Le $k$-isomorphisme naturel de $k[a]$ dans $k$ se prolonge en un $k$-automorphisme de $\C$ (car $\C$ est algébriquement clos). Cependant attention! (pour Laurent que je salue au passage), il faut se rappeler qu'il existe des automorphismes non continus de $\C$ autres que l'identité et la conjugaison. Or précisément, on montre qu'un $k$-automorphisme de $\C$ est continu si $k$ est fermé dans $\R$ ($k$ est toujours un sous corps de $\R$ tel que $[\R:k]

François Frédéric · August 2006

En fait ce que j'ai dit sur les $k$-automorphismes de $\C$ n'a pas lieu d'être:

Ici, $k^{n}$ a la topologie induite par celle de $\R^{n}$, c'est à dire celle donnée par n'importe quelle norme sur $\R^{n}$.

Comme ici $\C$ est un $k$-espace vectoriel de dimension finie, disons $n$, tout $k$-endomorphisme $u$ de $\C$ est automatiquement continu puisque si $(e_{k})_{1\leq k \leq n}$ est une $k$-base de $\C$, alors $|u(\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}e_{k})| \leq (\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|)max(|u(e_{k})|_{1 \leq k \leq n})$
ce qui montre que $u$ est continue en $0$ donc partout.
L'automorphisme de $\C$ prolongeant le $k$-isomorphisme naturel $f:k[a] \longrightarrow k$ ($f(a)=b$) est donc effectivement continu donc c'est l'identité ou la conjugaison et comme $k[a]=\R$, on a bien $b=f(a)=a \in \R$.
$a$ est bien l'unique racine complexe du polynôme minimal de $a$ sur $k$. Ce polynôme est donc de degré $1$ et $[\R:k]=1$ d'où $\R=k$.

Hormis la généralisation d'Artin-Schreier que j'ai évoquée, je n'ai donc fait que paraphraser ce qu'a dit Laurent auquel je présente mes excuses.

F.F.

François Frédéric · August 2006

Voici mon dernier mot: (les deux précédents peuvent être supprimés)

Bonjour,

Je demande aux modérateurs de m'accorder leur clémence car je poste encore une fois pour signaler que mon message qui précède immédiatement celui-ci est erroné et montre le piège dans lequel je suis tombé, l'ayant pourtant souligné.

Définir une "norme" sur $\C=\oplus_{1 \leq k \leq n} ke_{k}$ par $||\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}e_{k}||=\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|$ n'est déjà pas une norme sur le $\R$-espace vectoriel $\C$ (axiome d'homogénéité en défaut) et donc la topologie sur $\C$ définie par la distance associée à cette "norme" n'est certainement pas compatible avec la topologie usuelle de $\C$.

D'autre part, ce que j'ai dit auparavant:

"on montre qu'un $k$-automorphisme de $\C$ est continu si $k$ est fermé dans $\R$ ($k$ est toujours un sous-corps de $\R$ tel que $[\R:k]

IR : extension finie ?

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 2