Critère de trigonalisabilité
Et oui je suis encore dans la réduction mais il y a plein de trucs qui m'embêtent dans ce cours :
On a $\K \subset \C$
On considère $E$ un $\K - ev$ et $f$ un endomorphisme de $E$. On note $\chi_f$ le polynome caractéristique de cet endomorphisme.
Mon prof nous a démontré un critère :
$f$ trigonalisable $\Leftrightarrow$ $f$ possède un polynome annulateur scindé sur $\K$.
l'implication directe ne pose pas de problème (il suffit de prendre le polynome caractéristique, scindé dans ce cas), par contre l'implication réciproque m'ennuie bcp.
La démo du prof est la suivante :
Soit $P \in \K [X]$ un polynome anulateur de $f$ scindé sur $\K$.
$\C$ étant algébriquement clos, $\chi_f$ est scindé sur $\C$. On à donc $\chi_f = \prod_{i=0}^{p} (X- \lambda_i)$, avec les $\lambda_i$ complexes.
Les $\lambda_i$ sont des valeurs propres de $f$ donc sont des racines de $P$ donc ils sont dans $\K$ donc $\chi_f$ est scindé sur $\K$, donc $f$ est trigonalisable.
Au début je trouvais la dernière phrase si jolie que je ne me suis pas posé de questions, mais à la réflexion je trouve quand même que ca bloque :
Quand on dit $\lambda_i$ est valeur propre de $f$, ça n'a pas de sens, puisque $\lambda_i$ est complexe et que $f$ est un endomorphisme d'un $\K-ev$. Tout marcherait merveilleusement bien si on pouvait considérer $E$ en tant que $\C-ev$, mais à-priori ce n'est pas le cas.
Si quelqu'un peut me dire ou est le problème, comme d'habitude, je suis prenneur
Bonne nuit.
On a $\K \subset \C$
On considère $E$ un $\K - ev$ et $f$ un endomorphisme de $E$. On note $\chi_f$ le polynome caractéristique de cet endomorphisme.
Mon prof nous a démontré un critère :
$f$ trigonalisable $\Leftrightarrow$ $f$ possède un polynome annulateur scindé sur $\K$.
l'implication directe ne pose pas de problème (il suffit de prendre le polynome caractéristique, scindé dans ce cas), par contre l'implication réciproque m'ennuie bcp.
La démo du prof est la suivante :
Soit $P \in \K [X]$ un polynome anulateur de $f$ scindé sur $\K$.
$\C$ étant algébriquement clos, $\chi_f$ est scindé sur $\C$. On à donc $\chi_f = \prod_{i=0}^{p} (X- \lambda_i)$, avec les $\lambda_i$ complexes.
Les $\lambda_i$ sont des valeurs propres de $f$ donc sont des racines de $P$ donc ils sont dans $\K$ donc $\chi_f$ est scindé sur $\K$, donc $f$ est trigonalisable.
Au début je trouvais la dernière phrase si jolie que je ne me suis pas posé de questions, mais à la réflexion je trouve quand même que ca bloque :
Quand on dit $\lambda_i$ est valeur propre de $f$, ça n'a pas de sens, puisque $\lambda_i$ est complexe et que $f$ est un endomorphisme d'un $\K-ev$. Tout marcherait merveilleusement bien si on pouvait considérer $E$ en tant que $\C-ev$, mais à-priori ce n'est pas le cas.
Si quelqu'un peut me dire ou est le problème, comme d'habitude, je suis prenneur
Bonne nuit.
Réponses
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Bonjour,
Vous avez raison. Mais remplacez $f$ par sa matrice, et vous n'aurez plus de souci (il y a moyen de "complexifier" $E$, mais c'est un peu trop couteux au regard du résultat escompté).
Glop -
Une autre preuve est de de montrer que s'il existe un polynome annulateur scinde, alors le polynome minimal est scinde (car il divise ce polynome la) ainsi que totes les puissances du polynome minimal, et donc tous les diviseurs des puissances du polynome minimal, ce qui est le cas du polynome caracteristique.
-
Merci
-
La preuve de Frédéric Bosio marche très bien (mais s'appuie sur un résultat élémentaire, cependant hors programme de spé, même MP). On peut faire un peu plus compliqué en restant dans le programme. Je te le donne sous forme d'exo, en te laissant le soin de le détailler.
Soit $P=\Pi(X-\lambda_i)^{m_i}$ un annulateur scind\'e de~$u$. Le th. de d\'ecomposition des noyaux
donne $E=\oplus E_i$, avec $E_i=\text{Ker}(u-\lambda_iI)^{m_i}$. Les~$E_i$ sont stables par~$u$ et~$u$
induit sur eux des endomorphismes~$u_i$ v\'erifiant resp. $(u_i-\lambda_iI)^{m_i}=0$ : c'est dire que
les $v_i=u_i-\lambda_iI$ sont nilpotents. Il suffit de montrer que tout endomorphisme nilpotent est
trigonalisable et cela r\'esout la question. Soit~$v$ un endo nilpotent d'un e.v.~$F$ ; le noyau de~$v$
est non trivial et on adapte une base de~$F$ \`a ce noyau. La matrice de~$v$ dans cette base est
triangulaire sup. par bloc et on conclut facilement par r\'ecurrence, selon le sch\'ema usuel. -
Bonjour, Jean ; c'est presque comme dans ton autre fil :
Soit $P=(-1)^n\Pi(X-\lambda_i)^{m_i}$ le polyn\^ome caract\'eristique scind\'e de~$u$. Le th. de d\'ecomposition des noyaux
donne $E=\oplus E_i$, avec $E_i=\text{Ker}(u-\lambda_iI)^{m_i}$. Les~$E_i$ sont stables par~$u$ et~$u$
induit sur eux des endomorphismes~$u_i$ v\'erifiant resp. $(u_i-\lambda_iI)^{m_i}=0$ : c'est dire que
les $v_i=u_i-\lambda_iI$ sont nilpotents, avec des polyn\^omes caract\'eristiques de la forme
$\pm(X-\lambda_i)^{m_i}$ : ils sont donc trigonalisables avec une seule v.p. sur la diagonale. En
concat\'enant les bases des~$E_i$ ainsi construites, tu as ce que tu recherches. -
Kolossale erreur : la dernière réponse est celle à un autre fil du même Jean !! Mi scusi.
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Bonjour!
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