Décomposition de Dunford
Promis cette fois c'est ma dernière question sur la réduction :
J'ai du mal à saisir la methode permettant de réduire une matrice à une matrice triangulaire supérieure, diagonale par bloc, et avec une seule valeur propre par diagonale de bloc (ça aurait été plus simple de la dessiner, mais j'ai encore du mal avec les matrices en LaTeX, de toute façon je pense que tout le monde voit de quoi je parle).
Si on raisonne avec les endomorphismes, ça donne ça :
Le prof part du polynome caractéristique (scindé puisque la matrice doit etre trigonalisable): $\chi_f = (-1)^n \prod_{i=0}^p (X - \lambda_i)^{m_i}$ (Les $\lambda_i$ sont les VP distinctes de $f$ et les $m_i$ sont leurs multiplicités respectives).
Le théorème de décomposition des noyaux donne $E = \bigoplus_{i=0}^p Ker((f- \lambda_i Id_E)^{m_i})$
Pour construire la base qui permet d'obtenir la matrice qu'on veut, il procède par étape :
Il trouve une base de chaque $Ker(f- \lambda_i Id_E)$, il la complète pour obtenir une base de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ et ainsi de suite jusqu'a obtenir une base pour chaque $Ker((f- \lambda_i Id_E)^{m_i})$. Après il les concatène pour obtenir une base de $E$ et c'est gagné.
Mais je ne comprends pas bien comment il choisit les ''sous-bases'' qui lui permettent de construire sa base de $E$:
Je comprends bien que quelle que soit la base qu'il choisisse pour $Ker(f- \lambda_i Id_E)$ elle conviendra puisqu'elle sera formée de vecteurs propres. Mais après quand il la complète pour obtenir une base de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ ça me semble moins évident. En effet, s'il suffit d'ajouter un vecteur, ça marchera puisque $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ est stable par $f$, la matrice sera bien triangulaire supérieure.
Mais rien ne dit que $dim Ker((f- \lambda_i Id_E)^2) = dim Ker(f- \lambda_i Id_E) + 1$ et s'il faut ajouter deux vecteurs, la condition de stabilité par $f$ m'assure simplement que la matrice sera diagonale par blocs, mais plus nécéssairement triangulaire:rien ne me dit que l'image par $f$ du premier vecteur que je rajoute dans ma base aura une coordonnée nulle suivant le deuxième vecteur que je rajoute.
Comment choisir ces vecteurs de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ pour obtenir la matrice que je veux? Y a-t-il quelque chose qui m'échappe?
Merci d'avance
J'ai du mal à saisir la methode permettant de réduire une matrice à une matrice triangulaire supérieure, diagonale par bloc, et avec une seule valeur propre par diagonale de bloc (ça aurait été plus simple de la dessiner, mais j'ai encore du mal avec les matrices en LaTeX, de toute façon je pense que tout le monde voit de quoi je parle).
Si on raisonne avec les endomorphismes, ça donne ça :
Le prof part du polynome caractéristique (scindé puisque la matrice doit etre trigonalisable): $\chi_f = (-1)^n \prod_{i=0}^p (X - \lambda_i)^{m_i}$ (Les $\lambda_i$ sont les VP distinctes de $f$ et les $m_i$ sont leurs multiplicités respectives).
Le théorème de décomposition des noyaux donne $E = \bigoplus_{i=0}^p Ker((f- \lambda_i Id_E)^{m_i})$
Pour construire la base qui permet d'obtenir la matrice qu'on veut, il procède par étape :
Il trouve une base de chaque $Ker(f- \lambda_i Id_E)$, il la complète pour obtenir une base de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ et ainsi de suite jusqu'a obtenir une base pour chaque $Ker((f- \lambda_i Id_E)^{m_i})$. Après il les concatène pour obtenir une base de $E$ et c'est gagné.
Mais je ne comprends pas bien comment il choisit les ''sous-bases'' qui lui permettent de construire sa base de $E$:
Je comprends bien que quelle que soit la base qu'il choisisse pour $Ker(f- \lambda_i Id_E)$ elle conviendra puisqu'elle sera formée de vecteurs propres. Mais après quand il la complète pour obtenir une base de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ ça me semble moins évident. En effet, s'il suffit d'ajouter un vecteur, ça marchera puisque $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ est stable par $f$, la matrice sera bien triangulaire supérieure.
Mais rien ne dit que $dim Ker((f- \lambda_i Id_E)^2) = dim Ker(f- \lambda_i Id_E) + 1$ et s'il faut ajouter deux vecteurs, la condition de stabilité par $f$ m'assure simplement que la matrice sera diagonale par blocs, mais plus nécéssairement triangulaire:rien ne me dit que l'image par $f$ du premier vecteur que je rajoute dans ma base aura une coordonnée nulle suivant le deuxième vecteur que je rajoute.
Comment choisir ces vecteurs de $Ker((f- \lambda_i Id_E)^2)$ pour obtenir la matrice que je veux? Y a-t-il quelque chose qui m'échappe?
Merci d'avance
Réponses
-
Bonjour, Jean ; on procédera presque comme dans ton autre fil :
Soit $P=(-1)^n\Pi(X-\lambda_i)^{m_i}$ le polyn\^ome caract\'eristique scind\'e de~$u$. Le th. de d\'ecomposition des noyaux
donne $E=\oplus E_i$, avec $E_i=\text{Ker}(u-\lambda_iI)^{m_i}$. Les~$E_i$ sont stables par~$u$ et~$u$
induit sur eux des endomorphismes~$u_i$ v\'erifiant resp. $(u_i-\lambda_iI)^{m_i}=0$ : c'est dire que
les $v_i=u_i-\lambda_iI$ sont nilpotents, avec des polyn\^omes caract\'eristiques de la forme
$\pm(X-\lambda_i)^{m_i}$ : ils sont donc trigonalisables avec une seule v.p. sur la diagonale. En
concat\'enant les bases des~$E_i$ ainsi construites, tu as ce que tu recherches. L'autre méthode me semble inutilement compliquée. -
J'ai trouvé, cette fois c'est moi qui avait craqué:
[Citation de Moi ] rien ne me dit que l'image par du premier vecteur que je rajoute dans ma base aura une coordonnée nulle suivant le deuxième vecteur que je rajoute[fin de citation]
Et bien si, parce que pour tout $x$ dans $Ker((f - \lambda_i Id_E)^2)$, par définition
$(f - \lambda_i Id_E)(f(x)- \lambda_i x) = 0$.
Donc $f(x) = \lambda_i + y$ où $y \in Ker(f- \lambda_i Id_E)$ Donc l'image de $x$ par $f$ n'a pas de coordonnée non nulle par rapport à un autre eventuel vecteur de $Ker((f - \lambda_i Id_E)^2)-Ker(f- \lambda_i Id_E)$.
Pour Graouilly : Ce qui m'interesse c'est justement de savoir comment on construit les bases qui trigonalisent les $u_i$, et ce n'est pas explicite dans ta méthode. La méthode de mon cher M. Michel permet de construire ces bases en prenant des vecteurs "au hasard" dans les noyaux itérés et en les ordonnant correctement. Cela dit ta méthode sert déja à prouver de manière plus rapide que la réduction en question est toujours possible, ce n'est pas rien parce que ça m'a incité à perséverer
))))
Merci
(Ouf, fini la réduction d'endomorphismes) -
Bonjour,
sur le meme theme, tu peux t'interesser à la reduction de Jordan d'une matrice. En lisant la demonstration , tu verras pas à pas comment trouver une base dans laquelle la matrice est la plus "simple" possible . -
(Ouf, fini la réduction d'endomorphismes)
Ce n'est jamais fini !!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 16
+12 Invités