Matrice d'une application...

lol · August 2006

bonjour à tous ,
En fait , alors voilà , on a A une matrice de dimension 2 carré et l'application f(A) : X-->AX,
On me demande d'écrire la matrice de f(A) dans la base canonique de M2(R) .
C'est la base canonique des matrices carrées de dimension 2 , donc comment faire ?? écrire les"petites matrices"dans la "grande matrice" ???

naos · August 2006

Bonjour,

pour obtenir la matrice de $f$ dans la base canonique de $M_2(\R)$ (donc les $E_{ij}$), il te suffit de "remplir le tableau" suivant :

$$Mat_{can}(f) = \left( \begin{array} {cccc}
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \end{array} \right)
\begin{array}{c}
E_{11} \\
E_{12} \\
E_{21} \\
E_{22} \end{array} $$

Tu remplaces les $*$ par les coordonnées des $f(E_{ij})$ dans la base des $E_{ij}$.
En gros, appelles les $E_{ij}$ $e_1,e_2...$ et puis tu fais comme d'habitude. Le principal étant de faire complétement abstraction du fait que ton application soit un endomorphisme de $M_2(\R)$ (ce qui peut effectivement provoquer une confusion dans les notations)

Mais je doute que j'ai été clair...

Cordialement

naos · August 2006

J'en profite : comment écrire $f(E_{11})$ en dessous de la première colonne de ma matrice, et ainsi de suite ?

Merci

Cordialement

lol · August 2006

alors , E_11 fait partie de la base canonique , f(E_11)=A .E_11 c'est ça ?

naos · August 2006

Exactement.

Tu calcules $f_A(E_{11}) = A E_{11}$ et tu en déduis les composantes. Par exemple, si $A = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right) $, alors $f_A(E_{11}) = 1 \times E_{11} + 2 \times E_{21}$
Et tu n'as plus qu'a mettre le 1 et le 2 au bon endroit.

Cordialement