Diagonalisation

Phil11
Phil11
dans Algèbre
Bonsoir,

On considère l'espace $E = \R_n[X]$ et on pose pour tout polynôme $P(X)$,
$f(P)=P(X+1) - P(X) $

Comparer les dégres de $P$ et de $f(P)$. f est elle diagonalisable ?

Ma réponse

$P$ est de dégré n+1, et $f(P)$ aussi.
La matrice représentative de f dans la base canonique de $ \R_n[X]$ est une matrice triangulaire où la diagonale ne comporte que des 0.
donc 0 est la seule valeur propre de M.

f n'est pas diagonalisable.

Je ne suis pas très sur de ma réponse.


Merci de me signaler les erreurs ou améliorations.

Réponses

  • ryo
    ryo
    Euh un polynome de $\R_n[X]$ c'est de degre $n$ non? (par contre il a $n+1$ composantes et $dim$ $\R_n[X]=n+1$ la ok)

    Bon ensuite pour determiner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_n[X]$ on calcule $f(X^i)$ pour $i \in \{0,1,...n\}$

    $f(X^i)=(X+1)^i-X^i=\sum_{k=0}^{i-1} C_i^k X^k$ qui est de degre $k-1$
    Donc on trouve $d°f(P)=d°P-1$ pour $P$ un polynome de la base canonique

    Apres je suis d'accord avec toi : la matrice est triangulaire avec des $0$ sur la diagonale
    Donc $0$ est la seule val propre $f$

    Et comme $f$ n'est pas identiquement nulle, son noyau n'est pas $\R_n[X]$ tout entier
    Donc $f$ n'est pas diagonalisable par un argument sur la dim des espaces propres

    PS: le $C_i^k$ c'est les combinaisons, je precise parce que l'habitude de cette notation sur papier mais pas sur que ca ressorte comme il faut la
  • Phil11
    Phil11
    Merci ryo pour ta réponse.

    L'argument pour montrer que f n'est pas diagonalisable est:

    $dim(V(0))=0$ et $dim (\R_n[X])=n+1$ donc $ dim(V(0)) \neq dim (\R_n[X])$

    donc f n'est pas diagonalisable.


    Merci de me signaler les erreurs ou améliorations
  • Ludovic
    Ludovic
    Euh, un polynôme de $\R_n[X]$ est de degré inférieure ou égal à $n$ et non seulement égale à $n$. On peut être très précis sur le degré de $P$ et celui de $f(P)$. A vous de voir comment.

    $dim(V(0))=1$, non? (si cette notation signifie la dimension de l'espace propre associé à $0$). Du coup, pour faire le chieur mais il faut savoir avoir de la rigueur, elle est bien diagonalisable si $n=0$.
  • Phil11
    Phil11
    Pour $\R_2[X]$, la matrice representative de f est

    $M\begin{pmatrix} \\\\\\
    0& 1 & 1\\ \\\\\\
    0& 0 & 2\\ \\\\\\
    0 & 0 & 0 \\\\\\
    \end{pmatrix} $

    Déterminons l'espace propre associé à 0

    $M.(x,y,z)=0.(x,y,z)$ donc on en déduit que $y=z=0$, mais il n'y a pas de condition sur $x$.

    donc $V(0)=Vect{(1,0,0)}$

    $dim(V(0))=1$

    Je ne vois pas comment on peut être très précis sur le degré de $P$ et celui de $f(P)$, pouvez vous me donner un indice ?

    Merci
  • ryo
    ryo
    Ludovic tu as raison pour l'histoire du degre qui peut etre plus petit que n, j'ai pas fait attention.
    Par contre pour etre precis sur le degre il me semble que je l'ai fait non?

    Et pour ta derniere remarque tu fais effectivement le chieur mais tu as encore raison (et si j'y avais pense j'aurais fait le chieur aussi)
  • Ludovic
    Ludovic
    En effet ryo, même si tu fais une petit erreur que j'avais pas vu sur le coup. On a plutôt :
    $deg(f(P))=deg(P)-1$ si $deg(P)\geq 1$
    $deg(f(P))=-\infty$ sinon (avec la convention $deg(0) =-\infty$)
  • William Osgood
    William Osgood
    La matrice de f (dans E) est triangulaire supérieure à éléments diagonaux
    nuls, elle est donc nilpotente. Or une matrice nilpotente non nulle n'est
    pas diagonalisable...
  • ryo
    ryo
    Une matrice nilpotante non nulle n'est pas diagonalisable?

    Soit $N \in M_n(\C)$ nilpotente non nulle d'indice de nilpotence $n$

    Par l'absurde supposons $N$ diagonalisable
    $\existes$ $P \in GL_n(\C)$ telle que $P^{-1}NP=D$ diagonale

    On eleve a la puissance $n$ :
    on obtient $P^{-1}M^nP=D^n$
    D'ou $0_{M_N(\C)}=D^n$
    Or $D$ diagonale $\Rightarrow$ $D^n$ diagonale
    D'ou $D=0_{M_N(\C)}$

    Donc dans une certaine base $N$ est la matrice nulle donc $N$ est nulle : contradiction
  • William Osgood
    William Osgood
    On peut aussi remarquer que si on a une matrice nilpotente son spectre
    est réduit à l'élément nul (car le spectre est inclus dans l'ensemble des
    racines de tout polynome annulateur). Donc si une matrice nilpotente est
    diagonalisable, elle est alors semblable à la matrice nul et est donc nul,
    d'ou le résultat.
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