quotients de Z/nZ

Sonia : commence par répondre à la question de savoir quels sont les sous- groupes du groupe $k\Z$ lorsque $k$ est un entier donné. Après examine la question du quotient de groupes.


Trivecteur

Bonjour sonia,
sur <http://perso.orange.fr/rombaldi/EnoncesPbRevisionAgreg.pdf&gt; tu trouveras un problème sur Z/nZ et d'autres peut être intéressants pour des révisions d'agrégation (interne ou externe). Je placerais quelques corrigés plus tard.

Bonne journée

bonjour Sonia,
10Z={0,10,20,...} est une partie de 5Z={0,5,10,15,20,...}
On sait que les sous-groupes de G/N s'expriment par A/N avec N inclus dans A, donc 5Z/10Z est un sous-groupe (distingué) de Z/10Z et par le 3ème th d'isomorphisme,
(Z/10Z) / 5Z/10Z) ~ Z/5Z

Ludovic, il manque une parenthèse, c'est (Z/10Z) / (5Z/10Z) qui est isomorphe à Z/5Z.

salut,
avec m=pq,
en tant que sous-groupe de Z/mZ, pZ/mZ est cyclique
et comme (Z/mZ) / (pZ/mZ) ~ Z/pZ, il est d'ordre m/p=q.

pZ/mZ est donc bien isomorphe à Z/qZ.
Mais attention, il n'est qu'isomorphe. Donc ton quotient Z/10Z par Z/2Z n'a pas de sens. Tout comme ton Z/10 par Z/5Z. Par contre, (Z/10) / (2Z/10) est bien isomorphe à Z/2Z.

Je pinaille et je pinaille pas. Si on a de la bouteille, on peut se permettre de voir $\Z/5\Z$ comme un sous-groupe de $\Z/10\Z$. C'est un abus de langage bien pratique. Cela dit. Sonya a sûrement peu de bouteille en la matière et elle ne peut pas se permettre de ne pas pinailler. Il faut donc déterminer tous les sous-groupes de $\Z/10\Z$ qui sont isomorphes à $\Z/5\Z$ (ce serait pas mal de bien comprendre pourquoi l'intersecion de ces deux groupes est vide) puis calculer les différents quotients (en fait, il n'y en a qu'un).

Petite remarque : Dans l'exemple, on peut se contenter de calculer l'ordre du groupe quotient obtenu qui est le quotient des ordres des groupes quotientés. Ici, l'ordre du groupe est 2. Par conséquent, le groupe recherché doit être isomorphe à $\Z / 2\Z$.

Je ne t'insulte pas que je sache. J'ai simplement dit que tu n'avais pas la bouteille suffisante pour éluder certains détails. Si je me permets de dire ça, c'est qu'au vue de tes questions, j'ai la certitude d'en avoir plus que toi. Je ne m'étalerai pas sur mes qualifications mais sache que mon assurance et le recul dont je fais preuve ne sont pas feints.

Le groupe $\Z/n\Z$ est cyclique, donc tout sous-groupe et tout groupe quotient est cyclique.
De plus pour tout diviseur $d$ de $n$, le groupe $\Z/n\Z$ admet un sous-groupe {\bf et un seul} d'ordre $d$.
Par suite le quotient de $\Z/n\Z$ par cet unique sous-groupe d'ordre $d$ est cyclique et d'ordre $n/d$ par Lagrange, donc isomorphe à $\Z/(n/d)\Z$.

La cyclicité est une bonne approche. Encore faut-il démontrer correctement les affirmations d'Archimède (c'est peut-être du cours mais ce serait dommage de pas savoir le démontrer).

"De plus pour tout diviseur $ d$ de $ n$, le groupe $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ admet un sous-groupe et un seul d'ordre $ d$. " On pourrait rajouter :
"Ce sous-groupe est $(n/d) \Z / n \Z$"
Le quotient de ces deux groupes est donc : $(\Z / n \Z) / ((n/d) \Z / n \Z)$. Puis appliquer le résultat de cours (je pense qu'il doit y être en tout cas) suivant : $(G/H)/(K/H)$ est isomorphe à $G/K$. Ici cela donne que le groupe recherché est isomorphe à $\Z / (n/d) \Z$.