ideaux
j'ai une autre question:
j'ai vu un exo ou on demande de montrer que:
I={f$\in$A($\R$,$\R$) telle que f(0)=0} n'est pas un ideal principal ds A($\R$,$\R$)
or si on prend g qui x associe 1 si x =/= 0
0 sinon
on I=gA($\R$,$\R$) (càd I ideal principal)!!!
j'aimerais savoir ce qui ne va pas, merci de votre aide.
j'ai vu un exo ou on demande de montrer que:
I={f$\in$A($\R$,$\R$) telle que f(0)=0} n'est pas un ideal principal ds A($\R$,$\R$)
or si on prend g qui x associe 1 si x =/= 0
0 sinon
on I=gA($\R$,$\R$) (càd I ideal principal)!!!
j'aimerais savoir ce qui ne va pas, merci de votre aide.
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Réponses
Si $A(\R,\R)$ désigne l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ alors il me semble que l'idéal $I$ est bien principal, j'ai un générateur à proposer si steeve le veut.
@+
Désolé steeve je viens de relire ton post et c'est seulement maintenant que je me rends compte que tu fournis un générateur. Je ne peux donc que m'associer à toi et à Essabab pour dire qu'il y a un problème dans l'énoncé.
@+
I = {f$\in$C($\R$, $\R$) telle que f(0) = 0} n'est pas un idéal principal dans C($\R$,$\R$ ) ?
(où C($\R$,$\R$ ) désigne l'ensemble des fonctions continues de $\R$ dans $\R$)
Supposons que $g$ soit un générateur de $I$, alors la fonction carrée étant dans $I$, celle-ci est un multiple de $g$ et $g$ ne s'annule donc qu'en 0. Ensuite on a $\sqrt{|g|}$ est dans $I$ donc il existe $h$ continue telle que $\sqrt{|g|}=gh$ d'où l'on déduit pour$ x\in \R^*$ que $1=signe(g(x))\sqrt{|g(x)|}h(x)$ puis en faisant tendre $x$ vers 0 on obtient $1=0\times h(0)$ ce qui fournit une contradiction.
Bonne nuit.