Calcul d'un déterminant

Bonjour,

Ca me rappelle un exo que je pose chaque année, soit à calculer:
$$
D_n= \begin{vmatrix}\lambda_1&a&\cdots&a\\\\
b&\lambda_2&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b&b&\cdots&\lambda_n \end{vmatrix}$$

avec a et b distincts dans un premier temps ( avec a au dessus de la diagonale et b en dessous).

1) On ajoute x à chaque coefficient dans la matrice, le déterminant est un polynôme en x de degré 1: $P(x)=\alpha x+\beta$. On veut donc P(0).

2) On a $P(-a)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i-a)$ et $P(-b)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i-b)$. On en déduit $D_n=P(0)=\dfrac{bP(-a)-aP(-b)}{b-a}$ .

3) Si maintenant on fait tendre b vers a alors on aura le déterminant $\Delta_n$ proposé dans le premier post, ce qui donne $\Delta_n=P(-a)+aP'(-a)$. C'est bien la même formule que celle obtenue par Alain.

Il est de degré 1 car on peut l'écrire sous la forme (en raisonnant sur les colonnes par exemple):

$$\det(c_1+xe_1, c_2+xe_1, \ldots, c_n+xe_1)$$

avec $e_1$ une colonne de 1. La n-linéarité du déterminant et son antisymétrie se charge du reste.

Je viens de me rendre compte en relisant mon message qu'il y a une erreur dans ma conclusion (car P dépend aussi de b!), la bonne réponse est:
$\Delta_n=Q(-a)+aQ'(-a)$ avec $Q(x)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i+x)$

Merci au modo pour la correction!

Non, j'ajoute bien x à tous les coefficients! (c'est pour que P(-a) et P(-b) correspondent à des déterminants triangulaires), j'ai bien précisé que le vecteur $e_1$ est une colonne de 1!