Calcul d'un déterminant
Bonjour
je cherche un moyen simple de calculer le déterminant de la matrice formée d'une suite $(\lambda_1,...,\lambda_n)$ sur la diagonale, et tous les autres termes sont les mêmes, disons $a\in\R$.
Si $a=0$ la matrice est triangulaire et le résultat est évident, mais sinon ?
Merci
je cherche un moyen simple de calculer le déterminant de la matrice formée d'une suite $(\lambda_1,...,\lambda_n)$ sur la diagonale, et tous les autres termes sont les mêmes, disons $a\in\R$.
Si $a=0$ la matrice est triangulaire et le résultat est évident, mais sinon ?
Merci
Réponses
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Bonsoir Deep, tu veux calculer : $$
\Delta_n= \begin{vmatrix}\lambda_1&a&\cdots&a\\
a&\lambda_2&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&\cdots&\lambda_n \end{vmatrix} $$ Remarquons que $\Delta_n$ est symétrique en les $\lambda_1,\lambda_2\ldots,\lambda_n$ puisque permuter $\lambda_i$ avec $\lambda_j,\ i -
Bonjour,
Ca me rappelle un exo que je pose chaque année, soit à calculer:
$$
D_n= \begin{vmatrix}\lambda_1&a&\cdots&a\\\\
b&\lambda_2&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b&b&\cdots&\lambda_n \end{vmatrix}$$
avec a et b distincts dans un premier temps ( avec a au dessus de la diagonale et b en dessous).
1) On ajoute x à chaque coefficient dans la matrice, le déterminant est un polynôme en x de degré 1: $P(x)=\alpha x+\beta$. On veut donc P(0).
2) On a $P(-a)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i-a)$ et $P(-b)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i-b)$. On en déduit $D_n=P(0)=\dfrac{bP(-a)-aP(-b)}{b-a}$ .
3) Si maintenant on fait tendre b vers a alors on aura le déterminant $\Delta_n$ proposé dans le premier post, ce qui donne $\Delta_n=P(-a)+aP'(-a)$. C'est bien la même formule que celle obtenue par Alain. -
Ca a l'air très astucieux, mais je ne comprends pas pourquoi le déterminant est un polynôme de degré 1, c'est évident ?
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Il est de degré 1 car on peut l'écrire sous la forme (en raisonnant sur les colonnes par exemple):
$$\det(c_1+xe_1, c_2+xe_1, \ldots, c_n+xe_1)$$
avec $e_1$ une colonne de 1. La n-linéarité du déterminant et son antisymétrie se charge du reste.
Je viens de me rendre compte en relisant mon message qu'il y a une erreur dans ma conclusion (car P dépend aussi de b!), la bonne réponse est:
$\Delta_n=Q(-a)+aQ'(-a)$ avec $Q(x)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda_i+x)$
Merci au modo pour la correction! -
Ah d'accord, je n'avais pas compris que tu n'ajoutais $x$ qu'aux $\lambda_i$, je pensais que c'était vraiment "à tous les coefficients". Merci pour la clarification.
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Non, j'ajoute bien x à tous les coefficients! (c'est pour que P(-a) et P(-b) correspondent à des déterminants triangulaires), j'ai bien précisé que le vecteur $e_1$ est une colonne de 1!
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Ah oui, la notation m'a trompé en me rappelant la base canonique et j'ai cru, ou voulu, lire $(c_1+xe_1, ... , c_n+xe_n)$. Maintenant j'ai compris ! C'est en effet assez astucieux.
Désolé d'avoir pollué le fil en étant lent à la détente. -
Merci beaucoup a tous pour ces explications très claires.
Il me semble que le passage a la limite $b\rightarrow a$ n'est pas si évident, non ? -
Il suffit (?) de remarquer que $D__n$ est un taux d'accroissement. Ceci dit, le but de l'exercice que j'ai proposé est bien de faire le calcul quand a et b sont distincts (c'est une généralisation), sinon le calcul direct d'Alain est tout aussi bien.
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Bonjour!
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