Isomorphisme de groupes

A un isomorphisme près: deux groupes sont égaux à un isomorphisme près s'il existe un isomorphisme de l'un dans l'autre. (La relation "être isomorphe à" est une relation d'équivalence qui permet de quotienter l'ensemble des groupes.)

Soit $G$ un groupe dont le cardinal est un nombre premier $p$. D'après le théorème de Lagrange, si $x\neq e$ est un élément de $G$, alors l'ordre de $x$ dans $G$ divise $p$ et n'est pas 1, donc tout élément différent du neutre est d'ordre $p=\left|G\right|$. Donc $G$ est cyclique.

Tous les groupes cycliques d'ordre $n$ sont isomorphes (si $a_1$ et $a_2$ sont générateurs respectivement de $G_1$ et $G_2$, alors on peut vérifier que $\varphi:a_1^{i}\mapsto a_2^{i}$ est un isomorphisme).

Moralité: si $\left|G\right|=3$, alors $G$ est cyclique et isomorphe à $\Z_3$.

Bonjour

Pourquoi parle-t-on toujours de groupe {\bf à isomorphisme près} ?

C'est parceque des groupes il y en a pléthore, mais on se rend compte que certains d'entre eux réagissent de la même manière, par exemple :
Le groupe $G_1$ des classes d'équivalence $\pmod{3}$ dans $\Z$ pour l'addition, il est défini en extension par $G_1=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}$. On se rend compte que $G_1$ est cyclique ($\overline{3}=\overline{0}$) d'ordre 3.
Si on considère maintenant $G_2$ les rotations du plan de centre O et d'angle un multiple de $\frac{2\pi}{3}$ pour la composition des applications : Il est formé de $$G_2 = \{ id, r, r^2\}$$ en appelant $r=rot(O, \frac{2\pi}{3})$. On se rend compte que $G_2$ est aussi cyclique ($r^3=id$) d'ordre 3.

Ces deux groupes réagissent de la même manière, effectivement il existe un isomorphisme $f$ et son inverse $g=f^{-1}$ : $$
\begin{array}{lccc}f :& G_1&\rightarrow& G_2 \\ &\overline{0}&\mapsto& id \\ &\overline{1}&\mapsto& r \\ &\overline{2}&\mapsto&r^2 \end{array}
\qquad \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{lccc}g :& G_2&\rightarrow& G_1 \\ &id&\mapsto&\overline{0}\\ &r&\mapsto&\overline{1}\\ &r^2&\mapsto&\overline{2}
\end{array}
$$ On ne peut toutefois pas dire que $G_1=G_2$ parceque les éléments de $G_1$ ne sont pas éléments de $G_2$ (une rotation n'est pas une classe d'entiers).
On dira donc que $G_1$ et $G_2$ sont {\bf le même groupe à isomorphisme près}, c'est à dire qu'il existe un isomorphisme (de groupes) entre eux.
Il en sera de même pour le groupe $\{1, j, j^2\}$ pour la multiplication dans $\C$,
pour l'ensemble de matrices : $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\ ,\quad
\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\ ,\quad
\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ avec la multiplication des matrices,
ou bien pour les permutations de 3 éléments : $(), (123), (132)$ pour la composition des permutations,
etc ...
Tous ces groupes sont isomorphes au cyclique $G_1=\Z/3\Z$, ils représentent la même structure de groupe cyclique à 3 éléments, mais en tant qu'ensemble ils sont tous différents.

Alain

Mk1844 a écrit :{\it "Ainsi si j'interprète bien ta moralité on peut montrer que n'importe quel groupe cyclique est unique à un isomorphisme près et pour cela il suffirait de montrer qu'il est isomorphe à Z/nZ.Je ne me trompe pas ?"}

On peut effectivement le montrer.
On a même "mieux" que ça. Les groupes monogènes sont uniques à isomorphisme près.
Plus précisément, soit $G$ un groupe monogène.
De deux choses l'une : soit $G$ est fini d'ordre $n \in \N^{*}$ et il est cyclique, soit $G$ est infini (si $G$ est fini d'ordre $0$, c'est clair).
Si $G$ est fini d'ordre $n$ alors $G$ est isomorphe à $\Z / n \Z$.
Si $G$ est infini alors $G$ est isomorphe à $\Z$.

Pour la démosntration :
Soit $G$ un groupe monogène engendré par $x$.
On considère le morphisme : $f_x \, : \, \Z \longrightarrow G$ qui a $m \in \Z$ associe $x^m$ (la loi de $G$ est notée multiplicativement).
On différence deux cas :
- $G$ est d'ordre infini (et alors on montre que $f_x$ est injective. De plus elle est surjective par construction).
- $G$ est fini d'ordre $n \in \N^{*}$, on va quotienter $\Z$ par le noyau de $f_x$ et on obtient le résultat.

Bonne continuation

michaël.

mon message n'a pas de rapport avec le sujet, mais 'autant' ne s'ecrit pas
<BR>au temps :-) , et pour etre un peu plus dans la veine de ce fil si un
<BR>groupe à trois element se sont forcement <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="58" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/2/98157/cv/img1.png&quot; ALT="$ g, g^{-1},e$"></SPAN> il n'est donc pas
<BR>forcément obligatoire de sortir l'artillerie lourde ;-)<BR>

Salut,
<BR>
<BR>Pour Schwartz : au contraire, en toute rigueur, on écrit bien "au temps pour moi". L'écriture "autant pour moi" est, je crois, acceptée mais très récente.
<BR>
<BR>Pour plus d'info :
<BR><a href=" http://www.langue-fr.net/index/A/au_temps-autant.htm"&gt; http://www.langue-fr.net/index/A/au_temps-autant.htm</a&gt;
<BR><a href=" http://eureka.povlab.org/fiche.php?qid=144"&gt; http://eureka.povlab.org/fiche.php?qid=144</a&gt;
<BR><a href=" http://www.academie-francaise.fr/langue/questions.html#au_temps"&gt; http://www.academie-francaise.fr/langue/questions.html#au_temps</a&gt;
<BR>
<BR>Et plus généralement : <a href=" http://www.google.fr/search?q=autant+au+temps"&gt; http://www.google.fr/search?q=autant+au+temps</a&gt;
<BR>
<BR>michaël.<BR>

<BR>skilveg a écrit :
<BR>
<BR><I>"La relation "être isomorphe à" est une relation d'équivalence qui permet de quotienter l'ensemble des groupes"</I>
<BR>
<BR>Ce à quoi toto.le.zero a répondu :
<BR>
<BR>sauf que l'ensemble des groupes n'est pas un ensemble."
<BR>
<BR>Petite question, pourquoi l'ensemble des groupes ne peut il pas être un ensemble. Est ce du à une propriété axiomatique que doivent vérifier les ensembles ?
<BR>
<BR>Ensuite, pourquoi ne peut on pas munir cet ensemble (s'il existe) d'une relation d'équivalence, puis quotienter?
<BR>
<BR>Juste quelques interrogations.
<BR>
<BR>Airy.<BR><BR><BR>