Sous-groupes de Z/nZ
Bonjour a tous,
Je multiplie les sujets car je révise mon premier cours d'algèbre et je ne veux qu'aucune notion ne m'échappe. Je ne comprends pas très bien la proposition suivante.
Soit H inclus dans Z/nZ un sous-groupe, alors il existe d qui divise n tel que H soit le sous groupe engendré par la classe de d.
J'ai du mal à illustrer cette proposition et donc encore plus de mal à la démontrer.
Merci d'avance pour vos aides.
Je multiplie les sujets car je révise mon premier cours d'algèbre et je ne veux qu'aucune notion ne m'échappe. Je ne comprends pas très bien la proposition suivante.
Soit H inclus dans Z/nZ un sous-groupe, alors il existe d qui divise n tel que H soit le sous groupe engendré par la classe de d.
J'ai du mal à illustrer cette proposition et donc encore plus de mal à la démontrer.
Merci d'avance pour vos aides.
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Réponses
En prenant la classe d'un a quelconque de H, par Bézout, tu obtiens que s'il ne divise pas n, il engendre pgcd(n,a), qui est un multiple de ton d cherché, mais qui divise n. Reste à prendre un autre élément si H n'est pas juste le sous-groupe engendré par ce pgcd.
@+++ Duck69
Une autre possibilité : tu considères $f : \Z \rightarrow \Z / n\Z$ définie par $f(x) = \dot{x}$ (i.e. f(x) est la classe de x). $f$ est un homomorphisme de groupes et en particulier $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $\Z$ donc de la forme $d \Z$ avec $0 < d < n$ et $d$ divise $n$ (pourquoi ?).
Ceci signifie que $\forall x \in H \exists k \in \Z \quad x = f(kd)=kf(d)$. Donc $f(d)=\dot{d}$ engendre $H$.
Ciao
Autrement dit : pour tout diviseur $d$ de $n$, il existe un unique sous-groupe $H_d$ de $\Z / n \Z$ d'ordre $d$.
J'ai mis ce résultat dans le serveur d'exercice il y a quelques temps :
pour tout $n \in \mathbb{N}\setminus \{ 0 , 1 \}$, pour tout $d \in \mathbb{N}$ tel que $d \, \vert \, n$, il existe un unique sous-groupe de $(\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}, +)$ d'ordre $d$, c'est : $\displaystyle{G_d = < \overline{(\frac{n}{d})} > = \{\overline{0} \, , \, \overline{(\frac{n}{d})} \, , \, ... \, , \, (d-1) \, \overline{(\frac{n}{d})}\}}$. De plus, tous les sous-groupes de $(\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}, +)$ sont de cette forme.
Comme la solution proposée est mal passée, la voici (je te laisse adapter pour répondre à ta question) :
- Soient $n \in \N \setminus \{0,1\}$, $d \in \N$ et $H$ un sous-groupe de $\Z / n \Z$ d'ordre $d$.
Pour tout $\overline{x} \in H$, $d \, . \, \overline{x} = \overline{0}$.
Or, $d \, . \, \overline{x} = \overline{0}$ ssi il existe $k \in \Z$ tel que $\displaystyle{x = k \frac{d}{n}}$. Donc $H$ est inclus dans $G_d$.
De plus, $Card(H) = Card (G_d)$ donc $H = G_d$. D'où l'unicité.
- En ce qui concerne l'xistence, il reste à vérifier que $G_d$ est un groupe.
- Et pour le dernier point (tous les sous-groupes sont de cette forme), il suffit de voir que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe.
michaël.