inversibilité de matrice

Evariste Galois · October 2006

bonjour,
je dois prouver qu'une matrice est inversible et pour çà on me fait calculer :$U^T M U $ avec U une matrice colonne.
j'ai fait le calcul mais je n'arrive pas a conclure.
Je ne comprends comment on peut conclure sur la possible inversion de la matrice ou non par ce calcul.

PS: je ne mets pas la matrice M car je ne pense pas qu'elle puisse etre d'une grande aide.

Eva

Victor4 · October 2006

Eh bien si tu trouves zéro et que U est non nul, alors ta matrice n'est pas inversible car alors la forme quadratique représentée par M admet un vecteur isotrope non nul, ie elle n'est pas définie. Sinon, je ne vois pas comment conclure! En effet, prend la matrice carrée de taille 2 avec des 1 sur la première ligne et des zéros sur la deuxième, et prend U=transposée de (1 0).

LIautard4 · October 2006

Bonjour

La méthode de Victor suppose M symétrique ,pour la bijection avec les formes quadratiques

Ut*M*U est toujours nul si M est antisymétrique

Cordialement

Evariste Galois · October 2006

en fait ma matrice est une matrice symétrique.
$\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 \cdots 0} \\
-1 & 2 & -1 & \ddots \\
& \ddots & \ddots & \\
& 0 & -1 & 2
\end{pmatrix}$

donc $U^T M U = 2\big( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n} {u_i}^2 - \sum_{i=1}^{n-1} u_i u_{i+1}}\big)$

Eva

Victor4 · October 2006

Oula oui en effet il faut m'excuser ça fait un moment que je ne me suis pas remis à l'algèbre, et là j'ai dit une belle bêtise!! Autant pour moi...

Guego0 · October 2006

Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on voit que la forme quadratique associée à cette matrice symétrique, est définie positive. On en déduit que la matrice est inversible.

inversibilité de matrice

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