isomorphisme

soso · October 2006

J'ai une propriété que je n'arrive pas à démontrer :
Soit f une application linéaire de R^n dans R^n
Soit (e1, ..., en) une base de R^n
Soit Ei=vect(e1, ..., ei) pour tout i € [1,n]
Si f est un isomorphisme alors dim f(Ei) = dim Ei
Merci

jeffix · October 2006

si f est un isomorphisme ker(f)={0} et rang(f)=n et Im(f)=R^n !
donc pour tout i de 1 à n il existe un ui dans Ei tel que
ei=f(ui) donc ei appartient à f(Ei) pour tout i d'ou
Ei appartient à f(Ei)
L'autre inclusion est évidente car f est un endomorphisme dans ton exemple
Donc f se décompose sur la base des ei !

bisam · October 2006

Tout d'abord, f(Ei)=vect( f(e1), ... , f(ei) ) donc dim(f(Ei)) <= i, c'est-à-dire dim(f(Ei))<=dim(Ei). (ceci est vrai même si la fonction f n'est pas bijective)

Ensuite, puisque f est injective, elle transforme une famille libre en une famille libre et par conséquent l'inégalité précédente devient une égalité.

isomorphisme

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