Matrice, polynôme caractéristique
<!--latex-->Salut,
<BR>
<BR>J'ai un problème à résoudre dont je ne trouve pas la solution.
<BR>
<BR>Soit A une matrice d'ordre n à coeff. complexes inversible
<BR>B une matrice quelconque d'ordre n.
<BR>1 )Montrer que A.B et que B.A ont le même polynôme caractéristique.
<BR>2) Même question avec en plus A non inversible.
<BR><BR><BR>
[J'ai corrigé l'énoncé. Texte original dans "Code Latex". AD]
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<BR>J'ai un problème à résoudre dont je ne trouve pas la solution.
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<BR>Soit A une matrice d'ordre n à coeff. complexes inversible
<BR>B une matrice quelconque d'ordre n.
<BR>1 )Montrer que A.B et que B.A ont le même polynôme caractéristique.
<BR>2) Même question avec en plus A non inversible.
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[J'ai corrigé l'énoncé. Texte original dans "Code Latex". AD]
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Réponses
Pab(lambda) => polynôme caractéristique de la matrice A.B
A-1 => inverse de A
Pab(lambda) = det ( A.B - lambda.Id )
Pab(lambda) = det ( A.B - lambda.A.A-1)
Pab(lambda) = det ( A (B - lambda.A-1) )
Pab(lambda) = det ( (B - lambda.A-1) A )
Pab(lambda) = det ( B.A - lambda.A-1.A )
Pab(lambda) = det ( B.A - lambda.Id )
Pab(lambda) = Pba(lambda)
Mais quand A devient non inversible je vois pas.
merci quand même.