1) Les sous-groupes des groupes cycliques sont donnes, pour chaque diviseur d de l'ordre du groupe, par les multiples de d.
2) Le sous-groupe etant cyclique, il y a quatre elements d'ordre 4 qui forment un sous-groupe cyclique. Il suffit donc d'en trouver un. Regarde l'ordre d'un element un peu quelconque (2 par exemple). Une de ses puissances est d'ordre 4 et engendre le groupe en question.
Merci de m'aider!
Pourrais tu quand même me donner un peu plus de détails, car nous n'avons pas encore vu la signification de U16. De plus, j'avoue que mon petit cerveau à un peu de mal avec cette matière...
Merci par avance
frédéric : Pour une fois que tu commets une erreur, minime qui plus est.. je n'allais pas me priver :-)
soph88 : En général $\mathbb{U}_n$ désigne le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité, c'est-à-dire l'ensemble des solutions complexes de l'équation $z^n=1$, qui forme un sous-groupe de $(\C^*,\times)$. Ce groupe est cyclique d'ordre $n$ donc isomorphe à $\Z /n \Z$.
Lorsque $p$ est premier, le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau $(\Z/p\Z,+,\times)$ est isomorphe à $\mathbb{U}_{p-1}$.
Réponses
2) Le sous-groupe etant cyclique, il y a quatre elements d'ordre 4 qui forment un sous-groupe cyclique. Il suffit donc d'en trouver un. Regarde l'ordre d'un element un peu quelconque (2 par exemple). Une de ses puissances est d'ordre 4 et engendre le groupe en question.
Merci de m'avoir rectifie.
Pourrais tu quand même me donner un peu plus de détails, car nous n'avons pas encore vu la signification de U16. De plus, j'avoue que mon petit cerveau à un peu de mal avec cette matière...
Merci par avance
soph88 : En général $\mathbb{U}_n$ désigne le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité, c'est-à-dire l'ensemble des solutions complexes de l'équation $z^n=1$, qui forme un sous-groupe de $(\C^*,\times)$. Ce groupe est cyclique d'ordre $n$ donc isomorphe à $\Z /n \Z$.
Lorsque $p$ est premier, le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau $(\Z/p\Z,+,\times)$ est isomorphe à $\mathbb{U}_{p-1}$.