Factorisation...
Bonjour à tous,
Longtemps que je ne suis pas passé et j'aurais une petite question.
Je suis en cours particuliers un éléve en 3ième ( niveau faible mais je vais le faire progresser.) et je ne vois plus trop comment lui faire comprendre ce qu'est une factorisation.
Je précise ma question. Dans l'exemple $(x+1)(x+2)+x(x+1)$, il arrive bien à reconnaître quel est le facteur commun. Mais il ne comprend pas le pourquoi de l'écriture finale :
$(x+1)[(x+2)+x]$.
Il a bien compris ce qu'était un développement. Ai précisé la distributivité de la multiplication sur + mais il bloque tjs.
Merci pour vos suggestion,
Cdt
Clotho
Longtemps que je ne suis pas passé et j'aurais une petite question.
Je suis en cours particuliers un éléve en 3ième ( niveau faible mais je vais le faire progresser.) et je ne vois plus trop comment lui faire comprendre ce qu'est une factorisation.
Je précise ma question. Dans l'exemple $(x+1)(x+2)+x(x+1)$, il arrive bien à reconnaître quel est le facteur commun. Mais il ne comprend pas le pourquoi de l'écriture finale :
$(x+1)[(x+2)+x]$.
Il a bien compris ce qu'était un développement. Ai précisé la distributivité de la multiplication sur + mais il bloque tjs.
Merci pour vos suggestion,
Cdt
Clotho
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Réponses
On utilise
ka+kb= k(a+b)
Fais identifier k, a et b.
A force de le faire cela vient.
PS : Souvent quand on ne sait pas comment expliquer, le plus simple est de revenir à la propriété que l'on utilise !
Cela dit. C'est une question difficile. Je ne suis pas bien sûr que beaucoup d'élèves de ce niveau sauraient le faire. Doivent-il savoir le faire?
Content que tu sois de retour. Sinon, un truc débile, mais tu peux appeler (x+1) des "bananes" (par exemple), et dire "x+2 bananes + x bananes ça fait combien de bananes ?". Il va peut-être penser que tu le prends pour un attardé mais bon normalement ça marche...
Généralement, les élèves ont fait en Quatrième un peu de factorisations simples, du genre 5x²-15xy+ +10x =
Mais pas assez pour qu'ils s'en souviennent. Et voilà qu'on veut tout de suite les amener à mettre en facteur le binôme !
Pourquoi, alors là je vous le demande, c'est pour avoir une note potable au prochain contrôle ou parce qu'il y en a plein au Brevet, argument massue quand on n'a plus d'autre argument.
Alors, Clotho, je comprends tes attermoiements: ton élève finira par réussir sa factorisation par imitation, mais aura-t-il compris à quoi cela sert ? J'en doute
D'autant que l'expression qu'on lui demande de factoriser n'est pas un polynôme, mais une expression déjà semi-factorisée qu'on lui balance là, Dieu sait d'où elle sort. Après, quand il redéveloppe pour vérifier, il ne retrouve pas l'expression initiale mais un bon polynôme, On lui avait pourtant bien expliqué que la factorisation, c'est le contraire du développement...
Mais dans chaque sujet de Brevet on trouve : soit E l'expression etc, 1) développer et réduire 2) Factoriser ... Heureusement en 3) on a : Résoudre l'équation machin et là, en général, il trouve la réponse de la factorisation de la 2ème question.
Est-ce là le socle commun de connaissances ?
Bon, j'arrête de mexciter. Les intervenants précédents ont justement souligné qu'il faut d'abord maîtriser le ka+kb = k(a+b)
Ensuite, j'entoure le binôme ou je l'écris dans une boîte, ensuite je regarde l'expression de loin avec des couleurs on voit mieux encore :
Patate x Boîte = x . Patate = Patate [Boîte +x]
Malgré ce déploiement d'artifices "pédagogiques", mes élèves rament chaque année et je redoute ce chapitre technique incontournable (?)
Comment peut-on calculer de tête rapidement les nombres suivants:
$3 \times 6+3 \times 4$
$7 \times 12+8 \times 7$
$9^2+9$
$11^2-11$
Avec des chiffres, ca passe mieux en principe.
Puis ensuite, on procédé par analogie sur des expression contenant une variable.
Sinon, la formule ka+kb=k(a+b) peut être interpreter en terme d'aire: elle represente l'aire de deux rectangles de cotés k et a pour l'un, k et b pour l'autre, ces deux rectangles étant tout deux collés. Ca serait plus simple de faire un dessin, mais je ne sais pas comment insérer une image.
Voila pour mes suggestions,
Nicolas
(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)
Puis ils développent comme un "simple développement".
Cela permettrait d'eviter beaucoup d'erreurs de signe selon son expérience (même s'il est difficile de l'expliquer à un élève habitué "à la méthode des flèches") et peut-être qu'alors factoriser par (x+1) est plus "naturel"...
En espérant que cela pourra t'aider.
Merci à tous pour vos réponses ( nombreuses ). Je vais faire un petit "panache" de tout cela. Je le revois jeudi soir. Vous tiens au courant.
Cordialement,
Clotho.
Pour ceux qui m'ont répondu. J'ai bien suivi vos indications mais j'ai l'impression que mon éléve cherche plus à "imiter" mes exemples de factorisation qu'à comprendre ce qui se passe...
Mais bon cela viendra avec le temps et un peu de pratique. De toutes les façons, il est passé à la géométrie à présent.
Par contre, j'ai noté un raisonnement "bizarre" qu'il m'a fait plusieurs fois au sujet de la factorisation. Il m'écrit que :
$5.x+3.5 = 5.5 + 3.x$ . Autrement dit, il regroupe systématiquement tous les chiffres semblables entre eux.
Vous voyez une explication?
Merci pour votre aide,
Cordialement,
moi je leur parle de valises (d'un truc qui se ferme et qu'en math on remplace par une parenthèse car on a la flemme de dessiner la valise complète).
dans cette valise, il y a : 3 Pantalons, 2 Tee-shirt, 1 Brosse à dent, 4 Chaussettes.
et on prépare 5 fois la même valise car il y a 5 personnes dans la maison.
ça fait : 5X(3P+2T+1B+4C) (oui, car on n'a pas le courage de tout réécrire alors on met des lettres...)
si on ouvre les valises et qu'on étale tout ça sur le lit, on a combien de pantalons, ... etc.
donc on a développé (enlevé l'enveloppe, déballé) les valises.
maintenant si on a ... (choisir des nombres de P, T, B, et C qui sont multiples de 6) et demander combien on peut faire de valises...
faire : factere en latin, d'où factoriser...
manufacturer : faire à la main...
on donne un sens au mot factoriser... et ça passe déja mieux.
après on attaque des facto plus "costaudes"... et on regarde les valises qu'on peut faire et combien de fois le même truc on a...
en général cette méthode marche bien et a fait ses preuves...
je l'utilise chaque année et ça reste en tête car c'est compris...
bien sûr il faut le temps de la manipulation, de la reflexion , de la compréhension et de la digestion de cette connaissance...
bon courage, il faut croire en lui, et il y arrivera...
Quelle règle ou quelle propriété utilises-tu ?
Pourquoi as-tu le droit de faire cela ?
Ce que je dis souvent à mes élèves: on fait des maths quand on utilises des propriétés ( même simples).
Je leur demande très souvent quelle propriétés ils utilisent, cela évite de "faire de la cuisine" : je prend un x, je le mélange avec un sept, et puis je fais tout passer au four de l'autre côté de l'égalité -> et puis une bonne indigestion.
Ton élève ( comme beaucoup d'élèves et même certains collègues :-( ) pense que faire des maths c'est faire des recettes de cuisine, comme il a mal lu le livre ( de cuisine ) il fait n'importe quoi.
Bon courage
Clotho: ton eleve maitrise t il les regles de priorité des operations?
Peut être que dans l action de mettre en facteur , il croit voir que tu deplaces tous les nombres communs vers la gauche?
Dans un livre de 5eme j'ai noté qu'on tentait de faire verbaliser/ecrire des expressions comme 2*3+5*3 ou 5*(2+9) en utilisant une phrase en langage "courant". Je trouve cette maniere de faire interessante car elle permet sans doute de se faire une idee de la façon dont un eleve perçoit ce type d'expression.
Pour pouvoir "factoriser" quelque chose , il faut encore se rendre compte que l on a besoin d'être en présence d'une somme de produit.
et si on veut developper, qu on est bien en face d un produit.
J ai vu dans autre livre que la factorisation etait mis en parallele avec des phrases du type:
Jacques a un chat. Jacques a un chien
qui pouvaient être remplacés par:
Jacques a un chat et un chien.
-- Schnoebelen, Philippe
J'adore ta réaction. J'ajouterais même un BON médecin.
Si on n'arrive pas à comprendre une explication en maths alors
on est fou ou atteint de je ne sais quelle maladie?
Il n'y aura pas assez de médecins pour "soigner" tout le monde
car des cas comme celui de cet eleve est plutot courant.
L'être humain n'est pas un ordinateur sur lequel il suffit de presser quelques touches pour obtenir le comportement demandé.
Il est assez difficile de comprendre les choses en maths. Il y a de l'abstraction, il faut être doué ou faire un effort. Mais le problème ici c'est que les élèves {\bf se refusent par principe} à comprendre. A croire que c'est humiliant, stupide ou effrayant à leur yeux d'essayer de saisir le sens des choses, alors qu'on arrive généralement à s'en sortir en utilisant n'importe comment les outils qu'on a sous la main. Je ne dis pas qu'ils n'y sont pas encouragés par le système scolaire d'ailleurs.
Bon, ce que je viens de dire est très réducteur, surtout que dans le cas qui nous préoccupe il n'est pas dit que le sens doive précéder la pratique (il en résulte plus probablement). Si tu fais 50 développements avec un Clotho à côté de toi qui t'arrête à chaque fois que tu fais une erreur, au bout du 50e, tu sais développer.
Mais là encore, ça suppose un investissement de l'élève (sans doute existant dans le cas qui nous occupe). L'usage étant, au contraire, de ne pas se fouler : le cas échéant on combinera les chiffres un peu n'importe comment (puisque ça marche au moins une fois sur deux).
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<BR>Il est assez difficile de comprendre les choses en maths. Il y a de l'abstraction, il faut être doué ou faire un effort. Mais le problème ici c'est que les élèves <B>se refusent par principe</B> à comprendre. A croire que c'est humiliant, stupide ou effrayant à leur yeux d'essayer de saisir le sens des choses, alors qu'on arrive généralement à s'en sortir en utilisant n'importe comment les outils qu'on a sous la main. Je ne dis pas qu'ils n'y sont pas encouragés par le système scolaire d'ailleurs.
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<BR>Bon, ce que je viens de dire est très réducteur, surtout que dans le cas qui nous préoccupe il n'est pas dit que le sens doive précéder la pratique (il en résulte plus probablement). Si tu fais 50 développements avec un Clotho à côté de toi qui t'arrête à chaque fois que tu fais une erreur, au bout du 50e, tu sais développer.
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<BR>Mais là encore, ça suppose un investissement de l'élève (sans doute existant dans le cas qui nous occupe). L'usage étant, au contraire, de ne pas se fouler : le cas échéant on combinera les chiffres un peu n'importe comment (puisque ça marche au moins une fois sur deux).<BR>