polynôme irréductible

sophie21 · October 2006

Bonsoir à tous,

Une question qui me gêne depuis un moment :

k corps, n=2 ou 3, f(X) polynôme

i) Y^n -f(X) réductible dans k[X,Y]

équivaut à

ii) f=g^n avec g dans k[X]

ii) ---> i) est facile. Dans l' autre sens, j'écris

y^n-f = (y^k+L(X,Y)) ( y^m+M(X,Y)) avec k+m=n, k<m, degré de L en Y<k, degré de M en Y <m.
Nécessairement, L et M sont non nuls. Je bidouille en vain pour vérifier que k=1...

Merci

GERARD · October 2006

Salut Sophie.

Je ne comprends pas ta factorisation de y^n-f. Pourquoi les facteurs seraient-ils de cette forme ?
En tout cas, pour n=2 ou 3, comme tu le dis, il est évident que soit k soit m vaut 1 (2 = 1+1; 3 = 1+2 = 2+1).

Cordialement

Vincent · October 2006

On suppose que $Y^n - f(X)$ se factorise dans $k[X,Y]$.

On peut donc écrire

$Y^n - f(X) = P(X,Y) Q(X,Y)$ avec $P,Q \in k[X,Y]$

On écrit alors
$P(X,Y) = P_k(X) Y^k + P_{k-1}(X) Y^{k-1} + ... + P_0(X)$ et
$Q(X,Y) = Q_m(X) Y^m + Q_{m-1}(X) Y^{m-1} + ... + Q_0(X)$

En développant et en identifiant, on obtient
$P_k(X)$ et $Q_m(X)$ sont des constantes (qu'on peut rendre égale à 1)

En prolongeant l'identification, on obtient $P_{k-1}(X) = - Q_{m-1}(X)$
puis ... en descendant jusqu'à 0, on obtiendra le résultat souhaité. Enfin j'espère.

AG0 · October 2006

Hello,

je traite le cas ou k est de caracteristique nulle et contient les racines n-iemes de l'unite pour simplifier, et ou n est premier pour generaliser.

On utilise alors le lemme suivant:

Soit K un corps de caracteristique nulle, contenant toutes les racines de l'unite. soit a dans K. Si le polynome P(Y):=Y^n-a n'est pas irreductible, alors a est une puissance n-ieme d'un element de K.

Preuve: Soit y une racine de P dans une cloture algebrique de K. Les autres racines de P sont les ry, avec r racine n-ieme de l'unite, i.e. P=produit des (Y-ry), r decrivant les racines n-iemes de 1.
Supposons qu'on ait un polynome Q de K[Y], de degre d<n-1, qui divise P. Le coefficient de Y^(d-1) dans Q est une somme d'element du type ry, r racine n-ieme de 1. Or, vu que n est premier, une somme d'un nombre <n-1 de racines de l'unite n'est jamais nulle (irreductibilite sur Q du n-ieme polynome cyclotomique). Vu que K contient toutes les racines n-iemes de 1, on en deduit que y est dans K, cqfd.

Pour conclure, il suffit d'appliquer le lemme a K=k(X), a=f.

sophie21 · October 2006

Merci pour vos réponses, je les regarde de près.
Pour Gérard : tu as raison, mes facteurs n' ont aucune raison d' avoir cette tête.
A+

GERARD · October 2006

Bonjour.

J'étais trop juste en temps hier pour faire cette remarque :
L'hypothèse n = 2 ou 3 est essentielle. Elle amène immédiatement à k ou m = 1. Par contre, pour n= 4 on a :
$y^4 - x^2 = (y^2 - x ) ( y^2 + x ) $ et x² n'est pas une puissance quatrième dans $\R$ si x < 0.

Pour Sophie : J'ai laissé ma première réaction ("Pourquoi les facteurs seraient-ils de cette forme ?") alors que j'avais pensé à l'idée que développe Vincent. A la base, on utilise le fait qu'un polynôme de K(X,Y) est un polynôme en Y sur l'anneau K(X).

Pour AG : réponds-tu à la question de Sophie ?

Cordialement

AG0 · October 2006

Hello Gerard,

Vu que tu t'etais deja charge de la question posee, je me suis amuse a expliquer que ce resultat vaut encore pour n premier, a condition de supposer les racines n-iemes de 1 contenues dans k. On peut se passer de cette hypothese si f est unitaire.

a+

AG.

GERARD · October 2006

Ok AG, j'ai compris ton intension.
Cordialement

polynôme irréductible

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Bonjour!

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