question élémentaire sur déterminant

Bon, voilà .. Je suis en train de faire qq exercices simples (équations linéaires) .. Et je m'aperçois qu'il y a un problème ! Ma question porte sur les opérations autorisées sur les lignes et colonnes d'un déterminant..

Soit:
5x - y + 2z = 9
-x + 2y + z = 6
x + y - z = 0
J'ai Delta =
| 5 -1 2 |
|-1 2 1 | = -21
|1 1 -1 |
J'ai Delta_x =
|9 -1 2 |
|6 2 1 | = -21 => x= -21/-21 = 1
|0 1 -1 |
J'ai Delta_y =
| 5 9 2 |
|-1 6 1 | = -42 => y = 2 et de même z = -21/-63 = 3
|1 0 -1 |

Bon, là ma petite tête suit encore ..
Mais "ousque ça m'interpelle" c'est là :

En repartant de Delta je veux faire des opérations sur les lignes pour simplifier et calculer le déterminant encore plus simplement.
Delta=
| 5 -1 2 |
|-1 2 1 |
|1 1 -1 |
si je fais ligne 2 = ligne 2 + ligne 3 , alors j'ai : Delta_bis =
|5 -1 2 |
|0 3 0 | = -21 ..
|1 1 -1 |
bon ok ... mais si je veux en même temps simplifier les lignes 2 ET 3 :
ligne 2 = ligne 2 + ligne 3 , Et:
ligne 3 = ligne 3 + ligne 2 , alors j'ai:
Delta_Ter =
|5 -1 2|
|0 3 0| = 0 ,
|0 3 0|
ce qui est faux bien sur !
D'ou vient mon erreur ? J'ai beau relire mon cours ...
Siouplait ...
Soupe-à-l'oignon-y-croûtons