algèbre lineaire...

AG0
AG0
dans Algèbre
Hello,

J'ai une question qui me tracasse, que l'on peut formuler élémentairement de la façon suivante.
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension finie, et f, g deux endomorphismes de V.

La question est la suivante : caracteriser les endomorphismes h de V tels que
(i)     det(g+P(f))=det(h+P(f))
pour tout polynôme P.
La question ne m'intéresse que pour f, g, h en 'position générale', c'est-à-dire dans un certain ouvert dense à preciser (en particulier, on peut supposer f diagonalisable à valeurs propres distinctes).

Bien sûr, les endomorphismes h qui s'écrivent sous la forme Q(f)gQ(f)^(-1), pour un certain polynôme Q, satisfont à la relation proposée, mais je sais qu'il y en a d'autres en général, et j'aimerais bien les connaître.

Plus généralement, on peut considérer les endomorphismes h qui satisfont
(ii)     det(P(g,f))=det(P(h,f))
pour tout 'polynôme libre' P en deux variables, i.e. un élément de la k-algèbre libre engendrée par deux indéterminées X et Y.
Je ne sais pas s'il y en a moins que pour (i).

Amicalement,
AG.

Réponses

  • Ludovic
    Ludovic
    Pour (i), on peut remarquer que l'ensemble solution est stable par la conjugaison par les éléments du groupe $C_g$ des automorphismes qui commutent avec $g$. La question est : $C_g=C_h$ ?

    Je comprends pas ton histoire de $Q(f)gQ(f)^{-1}$.
  • AG0
    AG0
    Hello,

    si h=Q(f)gQ(f)^(-1), alors la relation (i) (ainsi que (ii) ) est verifiee pour tout P, en effet:

    h+P(f)=Q(f)(g+P(f))Q(f)^(-1) (deux polynomes en f commutent !)

    Pour ta remarque, je pense que tu voulais dire stable par C_f ( C_f, vu que je suppose f en position generale, n'est rien d'autre que les polynomes en f qui sont inversibles).

    Je peux montrer que, dans l'ensemble des h solution de (i), il n'y a qu'un nombre fini d'orbites sous C_f.

    Lorsque la dimension de V est 2, il n'y a qu'une seule orbite, celle de g.

    Lorsque la dimension de V est 3, il y a deux orbites.

    Pour (ii), lorsque la dimension de V est 3, je viens de voir qu'il n'y a qu'une seule orbite sous C_f (celle de g), et ainsi, (ii) est plus fort que (i). Je soupconne fortement que c'est vrai en dimension quelconque.

    merci pour toute autre idee!

    AG.
  • AG0
    AG0
    Hello,

    J'ai obtenu une reponse a (ii). Plus precisement, il existe un ouvert dense U d'endomorphismes inversibles de V satisfaisant:

    pour tous f,g,h dans U, on a:

    si, pour tout polynome libre a deux variables P(X,Y), de degre 1 en X (autrement dit, P est somme de monomes du type Y^a et (Y^a)X(Y^b)), on a det(P(g,f))=det(P(h,f)), alors g est conjugue a h par un polynome en f.
    La reciproque est, bien entendu, triviale.

    Maintenant, je peux poser la vraie question qui m'interesse, dont je doute un peu qu'elle ait une reponse positive, mais bon..

    Trouver un entier N minimal pour la propriete:
    Il existe P_1,...,P_N N polynomes libres a deux variables, de degre 1 en X, tels que:

    pour tous f,g,h dans U, l'egalite det(P_i(g,f))=det(P_i(h,f)) pour tout i=1...N implique que g est conjugue a h par un polynome en f.

    un peu de geometrie algebrique elementaire montre que N est necessairement superieur a n^2-n+1 (la dimension du 'quotient' de End(V) par le sous-groupe de GL(V) forme des matrices inversibles qui sont des polynomes en f). J'aimerais que N=n^2-n+1...

    Ca semble tire par les cheveux, mais ca aurait des consequences tres sympa en geometrie algebrique.

    amicalement,

    AG.
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