sous-groupe distingué

dedekind · October 2006

bonjour à tous et à toutes,
qui pourrait me donner une piste pour résoudre cet exercice qui parait pourtant si simple? j'essaye des choses mais rien n'aboutit.

Soient $H$ et $K$ 2 sous-groupes distingués d'un groupe $G$. On suppose que $H\capK=${$e$}. Montrer que tout élément de $H$ commute avec tout élément de $K$.

d'avance merci

dedekind · October 2006

rectification: $H$inter$K$=e

Toto.le.zero · October 2006

G est isomorphe alors au produit direct de H avec K. si tu prends le produit HxK muni de la loi produit, tu vois facilement que (h,e')*(e,k)=(e,k)*(h,e') pour tout h dans H et k dans K.

Toto.le.zero · October 2006

En fait il manque l'hypothèse HK=G donc j'ai dit une betise

jobherzt · October 2006

soient $h\in H$ et $k \in K$. on considère $hkh^{-1}k^{-1}$. Comme $H$ est distingué, $kh^{-1}k^{-1} \in H$, et donc $hkh^{-1}k^{-1} \in H$. de meme $hkh^{-1}k^{-1} \in K$. Or, $H\cap K =\{e\}$. donc :

\[
hkh^{-1}k^{-1}=e
\]

donc $h$ et $k$ commutent.

Alain Debreil · October 2006

$H \cap K =\{e\}$

sous-groupe distingué

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