irrationalité (msg de Xav)

Message de B.......t déplacé. Kuja

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Auteurs: B.......t (APuteaux-153-1-17-155.w82-124.abo.wanadoo.fr)
Date: 10-09-06 10:02

Je n'y comprend rien alors je répond à un post déplacé par AD sur l'irrationnalité. Impossible de poster dans le fil correspondant.

Slt,

Je ne crois pas que le théorème de Gelfond s’applique ici. Mais on peut visualiser concrètement l’irrationalité de ce nombre en considérant :

$f(x)=x\tanh{x}$

et $C_m=\{0,\,a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,,\,{…}\}$ la fraction continue de $f(m^{-1/2})$ .

On montre en effet relativement facilement que pour tout $m$ entier positif (bon exercice) :

$a_{2n-1}=4n-5$

$a_{2n}=m(4n-3)$

ainsi pour tout $m$ entier positif $\tanh(m^{-1/2})^2$ est irrationnel (autrement la fraction continue serait finie) et par voie de conséquence $e^{\sqrt{2}}$ en prenant $m=2$.

De même on montre que $\tan{1/\sqrt{2}}$ est irrationnel en considérant $f(x)=x\tan{x}$ .

B....t

Pour le th cité par Borde voir :
<http://planetmath.org/encyclopedia/LindemannWeierstrassTheorem.html&gt;

Meci Borde et Google. Pour exp(i*Pi/sqrt(2)) en revanche ....