produit semi-directe de groupes

Bonjour, je viens de voir la définition du produit semi-directe de 2 groupes $H$ et $N$ via $ \phi \in Hom(H,aut(N))$ , et je me suis demandé si il existait des conditions nécessaire et suffisante pour qu'il existe des morphismes de $H$ dans $aut(N)$ autre que l'application $f:h \longrightarrow id , \forall h \in H$, merci d'avance à tous ceux qui prendront la peine de me répondre