anneau integre et corps des fractions

sophie21 · October 2006

Bonjour,

Des doutes et une question.
Le corps des fractions de C[T] est C(T).
L' anneau C[X,Y]/(XY-1) est il C[X,1/X].
Et que vaut Fr(C[X,1/X])? Je dirais C(X)...

Merci pour vos réponses

ryo · October 2006

Pour le premier isomorphisme :
on prend l'identite de $\C[X,Y]$ dans $\C[X,\frac{1}{X}]$

C'est bien un morphisme surjectif

Et $Ker(id)=\{P \in \C[X,Y] | P(X,\frac{1}{X})=0\}=(XY-1)$

Donc on a notre isomorphisme
Mais il y a quelque chose qui me gene la dedans mais je sais pas trop quoi

Ensuite moi j'ai l'impression que $\C[X,\frac{1}{X}]=\C(X)$ et donc que le corps des fractions de ce machin est egal au corps des fractions de $\C[X]$. Dans ce cas tu as encore raison en fait mais la aussi ca me parait bizarre

Comme dirait toto, en esperant ne pas raconter de conneries (meme si la va falloir esperer tres fort)

[Utilisateur supprimé] · October 2006

ryo, ta preuve du 1) est correcte (enfin, je pense...)
Pour le 2), c'est trivial:
$$\C[X]\subset\C[X,\frac{1}{X}]\subset\C(X)$$
($\C(X)$ est un corps (le plus petit en fait), [donc un anneau], qui contient $\C$ et $X$,donc $\frac{1}{X}$. Comme par definition, $\C[X,\frac{1}{X}]$ est le plus petit contenant....).
Par contre, on a pas l'egalité entre les 2 derniers. Par exemple
$\frac{1}{X-1}\in\C(X)$ mais n'appartient pas a $\C[X,\frac{1}{X}]$.

Joaopa

sophie21 · October 2006

Merci beaucoup.

anneau integre et corps des fractions

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