nilpotence

C'est faux, par exemple:
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
ont pour indice de nilpotence 2 et ne sont pas semblables puisque leurs images n'ont pas la même dimension.

C'est d'ailleurs une question très intéressante, typique d'un oral d'agreg et qui me fut posée (en prépa agreg).

" Trouver deux endomorphismes qui ont même le polynome minimal et même polynome caractéristique sans être semblables."

Les endomorphismes nilpotents sont une belle mine de contre-exemples.

Juste pour expliquer la méthode de Corentin,

Lorsque l'on a la forme réduite de Jordan (dont je recommande d'étudier les deux démonstrations (*))

a) la taille du plus grand bloc donne l'indice de nilpotence (voila pourquoi il a choisi deux matrices qui ont chacune des blocs de taille maximale 2).

b) le nombre de blocs donne la dimension du noyau de chaque endomorphisme (2 blocs dans un cas, 3 dans l'autre). La dimension des noyau étant distinctes, il en va de même pour les rangs respectifs.

(*)
L'une fastidieuse et à la main, mais qui donne tout de suite la pratique et l'autre très élégante par la dualité, mais qui ne donne aucun renseignement sur le nombre de blocs, leur taille respectives etc.