Normes dans un EVN de dimension finie

Sur les corps fini, y'a pas de norme donc c'est réglé.

Sur $\Q$, je peux me tromper mais d'après moi ça n'a aucune raison de ne pas marcher, ou plus précisément je ne vois rien dans la démonstration de l'équivalence des normes dans le cas $\R^n$ qui ne s'adapte à $\Q^n$.

le probleme avec $\Q$ est que tout evn de dimension finie n'est pas complet! ( défaut de complétude de $\Q$ )

c'est exactement ca et par exemple sur le $\mathbb Q$ espace vectoriel de dimension 2 : $\mathbb Q(\sqrt{2})$ les deux normes :
$$N_1(a+b\sqrt{2})=\vert a+b\sqrt{2}\vert, \quad N_2(a+b\sqrt{2})=\vert a\vert+\vert b\vert $$
ne sont pas equivalentes... pour s'en convaincre considerer la suite $u_n=(1-\sqrt{2})^n$ qui cv vers zero pour la premiere norme et diverge pour la seconde.....

Bien vu pat... Je cherchais un truc avec l'irrationnalité moi aussi, mais comme le barbu rasé je cherchais dans $\Q^2$ le "plan géométrique", alors qu'il fallait plutôt regarder une extension.


Pour jo : il beaucoup d'autres corps, rien qu'entre $\Q$ et $\C$. Mais $\R$ et $\C$ seront les seuls corps complets (avec les quaternions si tu autorises les corps non commutatifs) et c'est ça qui fait marcher la preuve.

Quant à tous les corps existant, il y en a beaucoup.. mais vraiment beaucoup ! Des $\C(X)$ aux $\overline{\mathbb{F}}_p$ en passant par les $\Q_p$ et compagnie. Il y a eu une discussion très instructive là-dessus il y a quelques mois sur le forum, je vais essayer de la retrouver.

Réponse : une bande ($B$ comme bande).

youps, j'ai dit une bêtise : si K est un corps local, et L est un K-ev de dimension finie, tout ce que l'on peut dire, c'est que toutes les valeurs absolues sur L définissent la même topologie, à savoir la topologie produit.

a+
AG