Corps

franmthx · October 2006

Bonsoir à tous,

Juste une petite question : existe-t-il un corps à 9 éléments ?

Il parait que oui mais je n'arrive pas à en trouver un ou à démontrer qu'il en existe un !

S'il en existe un, alors, le groupe des éléments inversibles de ce corps est cyclique d'ordre 8.
De plus, ce corps d'ordre 9 est avant tout un groupe additif.
Il en existe que deux! Mais ce n'est pas F9 car 9 n'est pas premier !
donc...

Bref aidez moi !
Merci

pataud · October 2006

Je pense qu'on peut visualiser ce corps comme :
Z/3Z X Z/3Z
sauf erreur
avec les operation de multiplication/addition coordonnées par coordonnées

egoroff · October 2006

Erreur.. dans cet anneau produit il y a des diviseurs de zéro !

-Omar- · October 2006

Bonjour,

Pour le construire prendre le quotient de $\Z/3\Z[X]$
par l'idéal maximal $(X^2+1)$ engendré par le polynôme irréductible
$X^2+1$. Vous obtenez alors un corps ayant 9 éléments
Amicalement
Omar

cyrille · October 2006

à savoir qu'un produit de corps n'est jamais un corps!!! il existe tjrs un diviseur de zéro 0*e par exemple! ( dans un corps e $\neq$ 0 )

pataud · October 2006

(0,0) est le zero de cet anneau et (1,1) l element neutre de la multiplication.

je ne vois pas de diviseurs de 0?

dans le corps Z/3Z , 2 (qui est dans la meme classe que -1) n'est pas un carré.

on peut introduire un nbre imaginaire , j qui serait tel que j²=-1=2 modulo 3

et on considere les nombres a+b*j a,b dans Z/3Z

pataud · October 2006

(0,0) est le zero de cet anneau et (1,1) l element neutre de la multiplication.

je ne vois pas de diviseurs de 0?

dans le corps Z/3Z , 2 (qui est dans la meme classe que -1) n'est pas un carré.

on peut introduire un nbre imaginaire , j qui serait tel que j²=-1=2 modulo 3

et on considere les nombres a+b*j a,b dans Z/3Z

franmthx · October 2006

Salut pataud
Ca marche très bien comme tu a fait, oui !
Il suffit de considérer l'extension quadratique de F3(j) ou j²=2
Désolé pour le latex que je ne maitrise pas

cyrille · October 2006

(0,1)*(1,0) = 0

donc (0,1) est un diviseur de zero

pataud · October 2006

Cyrille: oui en effet. je me doutais que mon exemple etait trop simple :P

nicolas.patrois · October 2006

Ci-dessous, un poly en pdf sur les corps finis :
<BR><a href=" http://www.infres.enst.fr/~randriam/cours/poly-corps.pdf"> http://www.infres.enst.fr/~randriam/cours/poly-corps.pdf</a>
<BR><BR><BR>[Lien corrigé. AD]

lolo33 · October 2006

sinon c'est bien $F_9 $ !

jaybe · October 2006

cyrille et egoroff, il me semble bien que vous n'avez pas regardé la bonne multiplication. On ne fait pas $(a,b) \times (c,d)=(ac,bd)$, mais une multiplication qui préserve la structure de corps pour le produit. En l'occurence, avec des complexes : $(a,b) \times (c,d) = (ac-bd,ad+bc)$, sur le corps à 9 éléments $\{0,1,2,i,i+1,i+2,2i,2i+1,2i+2\}$, que l'on peut bien voir comme le produit de $\Z/3\Z$ par lui-même.