groupes à 6 éléments

Réponses

• nicos

  October 2006

  changement )
  <BR>
  <BR>-cas2: G non cyclique
  <BR>d'après Cauchy Z/6Z est isomorphe avec Z/2Z x Z/3Z<BR><BR><BR>
• DeDey

  October 2006

  D'aprés le théorème de Syllow G admet un sous-groupe d'ordre 2 et un d'ordre 3 au moins. En réalité il n'en admet qu'un seul d'ordre 3 à cause des cardinaux... On sait donc que ce dernier est distingué dans G. et ainsi G est isomorphe à un produit semi-direct de Z/2Z et Z/3Z.Or il n'y a que deux morphismes de Z/2Z dans AUT(Z/3Z) qui donnent deux groupes différents: Z/6Z et $S_3$.
• Alain Debreil

  October 2006

  Bonsoir
  
  On peut aussi rédiger comme celà, sans évoquer Sylow :
  
  $G$ est d'ordre 6, d'après Cauchy, il admet (au moins) un élément $r$ d'ordre 3 et un élément $s$ d'ordre 2.
  $\bullet\quad$Le sous-groupe engendré par $r$, noté $$ est d'ordre 3 donc d'indice 2 dans $G$, il est donc distingué dans $G$,
  $\bullet\quad$d'autre part $$ est d'ordre 2 (premier avec 3) donc $\cap =\{1\}$
  $\bullet\quad$et $.$ d'ordre 6 donc $.\ =G$
  Ces trois derniers points permettent d'affirmer que $G$ est produit semi-direct :
  $G =\ \rtimes_\phi $, avec $\phi \rightarrow Aut()$.
  Mais $\ \simeq \Z/3\Z$ a son groupe d'automorphismes formé de $\{id,\ (r\mapsto r^{-1})\} \simeq \Z/2\Z$.
  Il n'y a donc que 2 morphismes $\phi$ possibles (définis sur le générateur de $$ ):
  $\bullet\quad \phi(s)=id$ et on touve le produit direct $G\simeq\Z/3\Z\times\Z/2\Z \simeq \Z/6\Z$ (d'après le lemme chinois) qui est cyclique d'ordre 6.
  $\bullet\quad \phi(s) = (r\mapsto r^{-1})$ et on obtient la présentation : $$ G =\ $$ qui est la présentation du groupe diédral $D_3$ : groupe du triangle équilatéral,
  où $r = rot(O,\frac{2\pi}{3})$ et $s$ est la symétrie par rapport à une hauteur, la loi de composition étant la composition des applications, notée ici sous-forme de produit.
  Les 6 éléments de $G=D_3$ sont alors :
  $1$ d'ordre 1 le neutre
  $r, r^2$ d'ordre 3 les rotations d'angle resp. $\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}$
  $s,\ rs,\ r^2s$ d'ordre 2 les symétries par rapport à chacune des hauteurs.
  
  Alain
• nicos

  October 2006

  Merci beaucoup pour votre aide !!!
  Bonne journée )
• sigma=infini

  October 2006

  Essaie les groupes d'ordre 16