bijectivité

C'est quoi E ? C'est quoi F ? Ça veut dire quoi être "égal" pour des objets comme E et F ?

Ton égalité entre espaces vectoriels n'a pas vraiment d'intérêt (sauf si les seuls espaces vectoriels que tu connais sont les $\R^n$).

Considère par exemple le $\R$-espace vectoriel $\C$. Pour ton égalité, ce n'est pas $\R^2$. Considères l'application de $\R^2$ dans $\C$ définie par $(x,y) \mapsto x+\textbf{i}y$. N'est-elle pas clairement bijective ?

Oups, sorry. Un dollar en plus et ça va mieux. Je disais :


Plus généralement, soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie.

Il y a une proposition qui te dit : il existe un certain nombre de vecteurs de $E$ (disons $n$) qui en forment une base.

Si tu connais cette proposition, conviens-tu qu'elle revient à dire que tout espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à un $\R^n$ (donc qu'il existe un tel f entre toute espace vectoriel de dimension finie et un $\R^n$)?

Connais-tu d'autres $\R$-espaces vectoriels que les $\R^n$ ? Si oui, n'importe lequel te donne donc un contre exemple. Des exemples sont l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n (isomorphe à $\R^{n+1}$) ou les matrices de dimension (k,l) à coefficients réels (isomorphe à $\R^{kl}$), ou encore $\C$ comme dans le message précédent.