bijectivité
dans Algèbre
Bonjour
Je me demandais si pour toute aplication linéaire f de E dans F l'égalité de E et F est une condition nécéssaire à la bijectivité de f
Je me demandais si pour toute aplication linéaire f de E dans F l'égalité de E et F est une condition nécéssaire à la bijectivité de f
Réponses
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C'est quoi E ? C'est quoi F ? Ça veut dire quoi être "égal" pour des objets comme E et F ?
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E et F sont des espaces vectoriels et être égaux signifie avoir même dimension et que l'un est inclus dans l'autre
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Ton égalité entre espaces vectoriels n'a pas vraiment d'intérêt (sauf si les seuls espaces vectoriels que tu connais sont les $\R^n$).
Considère par exemple le $\R$-espace vectoriel $\C$. Pour ton égalité, ce n'est pas $\R^2$. Considères l'application de $\R^2$ dans $\C$ définie par $(x,y) \mapsto x+\textbf{i}y$. N'est-elle pas clairement bijective ? -
Plus généralement, soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie.
Il y a une proposition qui te dit : il existe un certain nombre de vecteurs de $E$ (disons $n$) qui en forment une base.
Si tu connais cette proposition, conviens-tu qu'elle revient à dire que tout espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à un $\R^n$ (donc qu'il existe un tel f entre toute espace vectoriel de dimension finie et un $\R^n$)?
Connais-tu d'autres $\R$-espaces vectoriels que les $\R^n$ ? Si oui, n'importe lequel te donne donc un contre exemple. Des exemples sont l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n (isomorphe à $\R^{n+1}) ou les matrices de dimension (k,l) à coefficients réels (isomorphe à $\R^{kl}$), ou encore $\C$ comme dans le message précédent. -
Oups, sorry. Un dollar en plus et ça va mieux. Je disais :
Plus généralement, soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie.
Il y a une proposition qui te dit : il existe un certain nombre de vecteurs de $E$ (disons $n$) qui en forment une base.
Si tu connais cette proposition, conviens-tu qu'elle revient à dire que tout espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à un $\R^n$ (donc qu'il existe un tel f entre toute espace vectoriel de dimension finie et un $\R^n$)?
Connais-tu d'autres $\R$-espaces vectoriels que les $\R^n$ ? Si oui, n'importe lequel te donne donc un contre exemple. Des exemples sont l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n (isomorphe à $\R^{n+1}$) ou les matrices de dimension (k,l) à coefficients réels (isomorphe à $\R^{kl}$), ou encore $\C$ comme dans le message précédent. -
merci barbu rasé pour tes informations
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