Groupes d'ordre 4

AlphaBeta · October 2006

Bonjour

Excusez-moi si ce message apparait en double, mais la première fois, il semble ne pas être passé....

Je souhaiterais démontrer que les seuls groupes de cardinal 4 sont, à isomorphisme près, $Z / 4\Z$ et $Z / 2\Z \times \Z / 2\Z$.
Est-ce possible de le démontrer en première année sans utiliser le théorème de Lagrange, ni la notion d'ordre d'un élément.
J'envisageais de distinguer deux cas :
* Ou bien le groupe $G$ étudié est cyclique, auquel cas, il est isomorphe à $\Z / 4\Z$.
* Ou bien le groupe $G$ étudié n'est pas cyclique, auquel cas...

Quelqu'un pourrait-il me dire, si c'est possible, et comment le faire sans Lagrange ni la notion d'ordre...
Merci d'avance à tous pour vos réponses,
AlphaBeta.

AG0 · October 2006

Hello,

il y a effectivement une façon simple de procéder.

Si G n'est pas cyclique, alors tout élément non nul est d'ordre 2, et cela implique que G est commutatif. en effet, pour x,y, dans G, on a :

xyxy=1 (car xy est d'ordre 2)
donc, en multipliant à droite par y et à gauche par x on obtient
yx=xxyxyy=xy (car x et y sont d'ordre 2)
maintenant, G est un Z/2Z-espace vectoriel, nécessairement de dimension finie égale à 2, d'où la chose.
Amicalement,
AG.

AlphaBeta · October 2006

Bonsoir AG

Merci pour ta réponse...

Le problème est que je ne souhaite pas parler de la notion d'ordre d'un élément. D'autre part, la notion de K-espace vectoriel sur Z/2Z est un peu compliquée en première année.

Je suis donc preneur de tout autre type de raisonnement,

AlphaBeta

petit curieux · October 2006

Alphabeta:

Une maniere "simple" serait de raisonner sur la table de la loi d un tel groupe

en considerant a,b,c,e (e= l element neutre) comme elements d un tel groupe.

jobherzt · October 2006

sans parler des ordres, ca me semble compliqués, sauf en effet a etudier toutes les tables de loi possibles.. a mon avis, le plus simple c'est :

- tous les elements sont d'ordre 2
- chacun d'entre eux engendre un groupe d'ordre 2, donc isomorphes a $\Z/2\Z$.
- Comme ces groupes sont distincts et ne contiennent que 2 elements, leur intersection 2 a 2 est l'element neutre.
- comme ils sont d'indices 2, ils sont tous distingués.

donc on prend 2 de ces 3 sous groupes (n'importe lesquelles) et on remarque que leur produit direct forme le groupe tout entier. d'ou

\[
G \equiv \Z/2\Z \times \Z/2\Z
\]

stfj · October 2022

Avant toute chose, il ne serait peut-être pas inutile de rappeler la loi de composition interne : $(\Z/2\Z,+)$ et $(\Z/2\Z \times \Z/2\Z,+)$. Evidemment avec $\times$, ce ne sont plus des groupes. Mais comme dans $\Z/3\Z$ par exemple $(\{1,2\},\times)$ est un groupe, OP ferait bien de veiller à être le plus clair possible sur un tel exercice élémentaire pour éviter des difficultés de compréhension sur des ensembles similaires plus tard. N'est-ce pas ?

math2 · October 2022

Avec une petite valeur telle que $4$, on devrait pouvoir dresser rapidement toutes les tables possibles ... J'ai le souvenir qu'en sup dès le premier cours sur les groupes, on avait eu comme exo de dresser toutes les tables de groupes à $n$ éléments pour les petites valeurs de $n$.

stfj · October 2022

@math2

ton professeur était peut-être un amateur de sudoku

. Quant à commencer la classification des groupes dès le premier cours sur les groupes, quelle ambition... pour ses élèves

[Pour ceux qui en douteraient et qui ne connaissent pas mon goût (parfois déplacé il est vrai) pour la polémique, OUI : c'est une violente critique.]

JLapin · October 2022

stfj a dit :t qui ne connaissent pas mon goût (parfois déplacé il est vrai) pour la polémique

Après ta critique parfaitement idiote du poly de géométrie d'Animaths, on commence à être au courant, je te rassure.
Celle-ci l'est tout autant d'ailleurs à mon sens.

Dom · October 2022

Étrange en effet…
D’ailleurs inutile de le présenter comme une classification des groupes. On fait chercher des tables de groupe et il n’y en a pas trente-six. Le parallèle avec le sudoku n’est pas idiot d’ailleurs. Ces tables de groupe obéissent à des règles.

Je ne comprends pas non plus cette critique.

C’est même un bon moyen de s’approprier ce qu’est un groupe après en avoir vu la définition.

stfj · October 2022

@JLapin : je veux bien le reconnaître

à condition que tu me convainques avec des arguments mathématiques si tu veux bien. L'un de mes maîtres (dont je reconnais volontiers n'être qu'un pâle élève) m'a enseigné qu'il faut donner la définition générale d'une notion générale, au moment où on la rencontre pour la première fois de façon naturelle : par exemple pour la notion d'anneau non commutatif, dans le cadre des espaces vectoriels réels , quand on étudie les endomorphismes d'un tel espace. Pour un étudiant de sup, en quoi est-il naturel de classer des objets à un isomorphisme près alors qu'il ne connaît même pas la notion d'isomorphisme de groupes puisque c'est son premier cours . Par ailleurs, il est fort à parier qu'il ne connaisse même pas $(\Z/2\Z,+)$ puisqu'il s'agit d'un groupe quotient et que c'est son premier cours sur les groupes... je pourrais continuer comme cela ad nauseam mais je te laisse si tu veux bien (et vu que tu trouves mes critiques idiotes, ce serait pour toi l'occasion de me le prouver) me le prouver.

Dom · October 2022

De nouveau, il est inutile de connaître $Z/2Z$ (notation et construction) pour par exemple dresser la table d’un groupe de cardinal $2$.

Quelle confusion !

Il y a les notions primaires (ici, groupe) et il y a la culture générale sur ces notions primaires et les applications de ces notions primaires.

Personne n’a parlé de définir ce qu’est un groupe quotient avant de trouver une table de groupe de cardinal plus petit que 4.

Enfin, c’est même intéressant car chacun va compléter sa table avec des lettres parfois distinctes et la notion d’isomorphisme de groupes va arriver toute seule, si j’ose dire, « naturellement » : on change les lettres et le symbole de la loi mais c’est le même groupe, ou pas.

stfj · October 2022

@Dom : il est en effet inutile de connaître $\Z/2$ pour dresser la table d'un groupe de cardinal $2$, et en l'occurrence dans le cadre d'un premier cours sur les groupes, c'est même impossible puisqu'il faudrait construire un groupe quotient. Donc, dans le cadre d'un premier cours sur les groupes voire d'un deuxième ou d'un troisième ou d'un quatrième, il faudrait avoir un autre exemple de groupe d'ordre 2 : lequel? je m'interroge ("le pair et l'impair", cela revient au même ... "avancer de $12$h en $12$h, noter $0$ s'il est minuit et $1$ s'il est $12$h, bof...) Idem pour un groupe d'ordre $3$; bref l'interrogation qui m'anime (outre le goût pour la polémique

), c'est ce que j'ai dit précédemment : on classe des objets, on ne sait même pas lesquels. Je ne pense pas faire de confusion. Et pour conclure, comme je l'ai déjà dit, autant faire du sudoku (à propos, notre nouvelle médaille Fields nationale https://les-mathematiques.net/vanilla/youtube.com/watch?v=xvdFA-2Ferw invite à en faire pour faire partager son goût pour les maths.)

JLapin · October 2022

$\{1,-1\}$ est un groupe d'ordre $2$ pour la multiplication. Il est facile de voir que pour la table de multiplication avec les symboles $e$ pour le neutre et $a$ pour l'autre élément, on retrouve celle de $\{-1,1\}$ en remplaçant $e$ par 1 et a par -1.

Fin de partie · October 2022

Un groupe d'ordre $2$ c'est avant tout un ensemble avec deux éléments dont l'un des éléments est l'élément neutre du groupe.

Il n'est pas difficile de compléter un tableau à $4$ cases dont on connait le contenu des trois quarts des cases sans coup férir.

Il reste à déterminer la valeur de $a^2$ si $a$ est l'élément qui n'est pas l'élément neutre or, on ne peut pas avoir $a^2=a$ car autrement on aurait $a=e$ où $e$ est l'élément neutre donc $a^2=e$ et on a complété la table de la loi de groupe pour un groupe à deux éléments.

PS:

Pour un groupe à $4$ éléments cela ne doit pas être trop compliqué de compléter un tableau à $16$ entrées dont on connaît $7$ entrées simplement.

Après, il faudra faire des suppositions sur le fait qu'un élément à un inverse qui est lui-même ou pas.

Fin de partie · October 2022

Si $a,b,c,e$ sont les 4 éléments du groupe avec $e$ l'élément neutre, on a nécessairement les deux alternatives qui s'excluent: soit tous les éléments sont leur propre inverse, soit il y a qu'un seul élément, hormis $e$, qui est son propre inverse (ce qui veut dire que les deux éléments restant, qui ne sont pas l'élément neutre, sont inverses l'un de l'autre). Ces deux suppositions permettent de compléter le tableau de la loi de groupe.

Dans le premier cas on a $a^2=b^2=c^2=e$ (3 entrées dans le tableau), $ae=ea=a,be=eb=b,ce=ec=c,e^2=e$ (7 entrées dans le tableau).

Il en reste 6 à compléter $ab,ac,ba,bc,ca,cb$ qu'on complète facilement (par exclusion):

$ab$ ne peut être égal qu'à $c$.
$ac$ ne peut être égal qu'à $b$
$ba$ ne peut être égal qu'à $c$
$bc$ ne peut être égal qu'à $a$
$ca$ ne peut être égal qu'à $b$
$cb$ ne peut être égal qu'à $a$

NB. J'ai traité le cas le plus facile.

PS.
La supposition faite que tous les éléments sont leur propre inverse et qui oblige à remplir le tableau que d'une seule manière "se transmet" par isomorphisme.

Fin de partie · October 2022

Dans le cas où un seul élément qui n'est pas le neutre, $a$, est son propre inverse on a
$a^2=e,bc=cb=e,ae=ea=a,be=eb=b,ce=ec=c,e^2=e$ (10 entrées)
Il reste à déterminer: $ab,ac,ba,b^2,ca,c^2$
$ab$ ne peut être égal qu'à $c$
$ac$ ne peut être égal qu'à $b$
$ba$ ne peut être égal qu'à $c$
$ca$ ne peut être égal qu'à $b$
Il reste à déterminer ce que peuvent être, ou ne pas être, $b^2,c^2$.

PS.
Si on sait ce qu'est l'ordre d'un élément et qu'on connaît le théorème de Lagrange on montre que $b^2=c^2=a$.

En effet, $b^2$ ne peut pas être égal à $e$ (contraire à l'hypothèse que le groupe ne contient qu'un seul élément qui est son propre inverse), ni à $b$ (autrement on aurait $b=e$). Supposons qu'il soit égal à $c$ on aurait donc $b^2=c$ on multiplie l'égalité à gauche et à droite par $b$, on obtient: $b^3=bc=e$ or, ni $b$, ni $b^2$ ne sont égaux à $e$ donc $b$ est d'ordre $3$ ce qui est impossible d'après le théorème de Lagrange.

donc $b^2=a$. Un raisonnement analogue montre que $c^2=a$.

C'est conforme à ce qu'on constate pour le groupe $\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\right)$.

$2$ est le seul élément qui n'est pas l'élément neutre qui est son propre opposé.

et on a $1+1\equiv 2\mod{4}$ et $3+3\equiv 2\mod{4}$.

Il reste à trouver un argument qui permet d'éviter le recours au théorème de Lagrange.

Addendum.
Argument qui ne fait appel ni au théorème de Lagrange, ni à la notion d'ordre d'un groupe.
Supposons donc que $b^2=c$ on multiplie à gauche les deux membres de l'égalité par $a$, il vient: $ab^2=ac$ or, $ac=b$ donc on a $ab^2=b$ ce qui implique $ab=e$ ce qui implique que $a=b$ ce qui est absurde, puisque l'égalité précédente signifie que $a$ a pour inverse $b$ (inverse qui est unique dans un groupe).

Dom · October 2022

Bizarre d’écrire que pour trouver un groupe d’ordre 2 il faudrait connaître la notion de groupe quotient.

Je veux bien admettre qu’on ne se comprend pas. Sinon je réitère qu’il y a une belle confusion entre la notion de groupe et les noms que l’on donne à certains groupes ou leurs constructions.

Fin de partie · October 2022

Un groupe d'ordre 2 est unique à isomorphisme près puisque il est déterminé par le fait que l'élément qui n'est pas le neutre est son propre inverse.

Dans un isomorphisme de groupes un élément neutre a pour image un élément neutre et si dans l'un des groupes on a $a^2=e$ , $e$ élément neutre du groupe considéré, alors si $f$ est un homomorphisme on a $f(a)^2=f(a^2)=f(e)=e$ j'ai pris la notation $e$ pour l'élément neutre du groupe source et du groupe arrivé/but.

Dom · October 2022

Dis-moi, Fin de partie, que veux-tu dire dans le second paragraphe finalement ?
remarque : plutôt « l’élément neutre » que « un élément neutre », mais ce n’est pas un problème.

JLapin · October 2022

Fin de partie a dit :

Il reste à trouver un argument qui permet d'éviter le recours au théorème de Lagrange.

Notons $e$ le neutre, $a,b,c$ les trois autres éléments.

S'il existe un élément dont le carré est différent de $e$, sans perte de généralité, on peut supposer qu'il s'agit de $a$ et que $a^2=b$ (puisqu'on a aussi $a^2\neq a$). La table de multiplication se complète toute seule avec la règle du Sudoku.

Sinon, on a $a^2=b^2=c^2=e$ et à nouveau, la table se complète toute seule.

Fin de partie · October 2022

Je remonte le sujet car je pense avoir donné plus haut une solution complète à la question posée par @AlphaBeta avec les contraintes imposées.

Fin de partie · October 2022

@JLapin: Je ne fais pas autre chose que ce que tu dis.

JLapin · October 2022

Je suis d'accord mais je ne faisais que répondre à ta phrase en gras. Je n'avais pas vu ton addendum.

Fin de partie · October 2022

JLapin: Je croyais avoir raté un truc.

Fin de partie · October 2022

@Dom: Si tu considères la catégorie de tous les groupes et de leur morphismes, tu peux difficilement parler d'UN élément neutre à mon humble avis. Autrement il faut se donner deux groupes etc. Mais je suis d'accord que dans un cours il vaut mieux éviter de susciter une ambiguïté en utilisant des phrases qui vont être mal comprises à coup sûr.

Groupes d'ordre 4

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