Les x sont les racines de X^q-X puisque l'on construit Fq comme un corps de décomposition de ce polynome sur Z/qZ. Il suffit alors de regarder les fonctions symétriques des racines, qui s'expriment en fonction des coefficients (nuls) de ce polynome.
On peut aussi faire comme ça : soit x non nul dans ton corps, et S la somme à évaluer.
On a alors x^i*S=S (évident)
Donc si l'on peut choisir x tel que x^i est différent de 1, on a gagné.
Mais on sait que k* est monogène, de cardinal q-1. Si x est un générateur de k*, on a bien x^i différent de 1 pour i non multiple de q-1.
Réponses
On peut aussi faire comme ça : soit x non nul dans ton corps, et S la somme à évaluer.
On a alors x^i*S=S (évident)
Donc si l'on peut choisir x tel que x^i est différent de 1, on a gagné.
Mais on sait que k* est monogène, de cardinal q-1. Si x est un générateur de k*, on a bien x^i différent de 1 pour i non multiple de q-1.
a+
AG.
sinon aussi je me suis rendu compte qu'en disant que k* est monogène, on peut calculer explicitement la somme (géométrique) et ça fait bien 0.