somme des x^i dans Fq

cachalot · October 2006

Bonjour,

soit k un corps fini à q éléments.

Montrer que si i n'est pas multiple de q-1, alors $\sum_{x\in k}x^i = 0$.

Merci

Ben · October 2006

Les x sont les racines de X^q-X puisque l'on construit Fq comme un corps de décomposition de ce polynome sur Z/qZ. Il suffit alors de regarder les fonctions symétriques des racines, qui s'expriment en fonction des coefficients (nuls) de ce polynome.

AG0 · October 2006

Hello,

On peut aussi faire comme ça : soit x non nul dans ton corps, et S la somme à évaluer.

On a alors x^i*S=S (évident)

Donc si l'on peut choisir x tel que x^i est différent de 1, on a gagné.
Mais on sait que k* est monogène, de cardinal q-1. Si x est un générateur de k*, on a bien x^i différent de 1 pour i non multiple de q-1.

a+
AG.

cachalot · October 2006

Merci à vous 2, ton argument est joli AG, (on n'a pas besoin d'invoquer le fait que k* est monogène je pense?)

sinon aussi je me suis rendu compte qu'en disant que k* est monogène, on peut calculer explicitement la somme (géométrique) et ça fait bien 0.

somme des x^i dans Fq

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