Cas d'égalité dans l'inégalité de Minkowski
Bonjour,
Je me suis intéressé à l'inégalité de Minkowski suivante:
$$ \sqrt{f(x+y,x+y)} \leq \sqrt{f(x,x)} +\sqrt{f(y,y)}$$
où $f$ est une forme bilinéaire symétrique (ou hermitienne) définie positive.
Je sais qu'on a égalité dans le cas réel si et seulement si $x$ et $y$ sont liés positivement.
Cette égalité est-elle vraie si on est dans $\C$?
Merci de votre aide.
Cordialement,
Raphael
Je me suis intéressé à l'inégalité de Minkowski suivante:
$$ \sqrt{f(x+y,x+y)} \leq \sqrt{f(x,x)} +\sqrt{f(y,y)}$$
où $f$ est une forme bilinéaire symétrique (ou hermitienne) définie positive.
Je sais qu'on a égalité dans le cas réel si et seulement si $x$ et $y$ sont liés positivement.
Cette égalité est-elle vraie si on est dans $\C$?
Merci de votre aide.
Cordialement,
Raphael
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Réponses
Si tu supposes que f est une forme hermitienne définie positive, alors tu te situes forcément dans $\R$ ( sinon, c'est une forme sesquilinéaire ). Cela dit, l'inégalité est vraie aussi pour h simplement positive donc dans $\C$, mais cette inégalité découle de celle de Schwarz, inégalité pour laquelle le cas d'égalité n'existe pas ( à ma connaissance ) dans $\C$.
Donc, je ne pense pas qu'il puisse y avoir égalité dans $\C$.
Bonne soirée.