Jordan et polynôme minimal

Je crois qu'il existe une subtilité de vocabulaire:

les blocs de Jordan sont constitués de cellules de Jordan.

Chaque bloc concerne une seule valeur propre et chaque cellule a des 1 sur sa surdiagonale (sauf lorsqu'elle est de taille 1 bien sûr)

Je ne vois pas ce qui dans la démo de Gourdon p196 permettrait de dire que la taille maximale d'une cellule de Jordan relative à la valeur propre $\lambda_i$ serait égale à l'exposant relatif à cette valeur propre dans le polynome minimal. Cette exposant correspondrait à la hauteur dans le tableau d'Young réalisé pour la démo comme dit dans le fichier pdf fourni par toutnet83 . Est ce évident?

Faut il alors fait appel à la démo passant les invariants de similitude? Même là je ne vois pas trop. Je cherche une explication concise et claire.

l'indice de nilpotence est r= degré polynome minimal= taille de la première colonne pas besoin d'aller voir les autres colonnes puisque c'est la première la plus grande non?

Est ce que l'on peut adapter ce dessin pour le cas général (non nilpotent). Le fichier pdf ci-dessus semble dire que oui. Comment le montrer?

dans la 2ème démo de Gourdon (invariants de similitude et endo. cycliques) p 281 je n'arrive pas comprendre un argument concernant l'$unicité$ de la suite des polynomes de la décomposition.
Je résume:
On se donne deux listes de polynomes $(P_1,...P_r)$ et $)Q_1,...,Q_r)$ et j le premier indice tel que $P_j \neq Q_j$. On note $F_i$ et $G_i$ les sous espaces stables par $f$ associés à chacune de ces listes de polynomes.

Alors Gourdon dit que pour $i \leq j-1$ il existe des bases de $F_i$ et $G_i$ telles que les matrices des restrictions de f à $F_i$ et $G_i$ dans ces bases soient les mêmes. Je ne vois pas pourquoi. Tout ce que je vois c'est que la restriction de f à $F_i$ ou $G_i$ est cyclique (par hypothèse) donc qu'il existe des bases telles que la matrice représentant f dans ces bases soit la matrice compagnon du polynome minimal associé à la restriction de f $ F_i$ et $G_i$. Je ne vois pas pourquoi ces polynomes minimaux seraient identiques (c'est pourtant ce que semble dire Gourdon) puisque c'est justement ce que l'on veut démontrer.

Ok

mais comment d'après vous Gourdon prouve-t-il ce passage concernant l'unicité?

Je ne comprends toujours pas l'argument rappelé ci-dessus selon lequel Gourdon p281 nous dit qu'il existe deux bases $B_i$ et B'_i$ telles que la matrice de la restriction de f à $F_i$ et $G_i$ respectivement soit la même.
Son argument utilise la matrice compagnon du polynome minimal. Je ne vois pas d'autre explication que le fait que les restrictions à $F_i$ et $G_i$ aient le même polynome minimal, mais comment le justifier.

Eureka

la réponse est dans la démonstration de l'existence et modulo une récurrence immédiate. C'est simplement long à écrire proprement:

soit x tel que $P_x=\pi_f$ (polynome minimal de f) $F_1=E_x$
soit y tel que $P_y=\pi_f$ (polynome minimal de f) $G_1=E_y$
posons $P_1=\pi_{f|F_1}$ et $Q_1=\pi_{f|G_1}$



La restriction de f à $F_1$ , $G_1$ est cyclique et il existe des bases
$B_1$ et $B_'1$ de $F_1$ et $G_1$ dans lesquelles les matrices des restrictions $f_{|F_1}$ $f_{|G_1}$ sont identiques car ce sont les matrices compagnons de $\pi_{f|F_1}$ $\pi_{f|G_1}$ et que ces polynomes minimaux sont identiques.
En effet:
montrons que $P_x=\pi_{f|E_x}$
de $\pi_{f|E_x}(f|E_x})=0$ (Cayley Hamilton) on tire en particulier
$\pi_{f|E_x}(f|E_x})(x)=0$ donc $P_x|\pi_{f|E_x}$
maintenant si $y\in E_x$ alors $y=\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i f^{i}(x)$ où k est le degré de $P_x$. On a

$P_x(f|E_x)(y)=\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i f^{i}(P_x(f|E_x))(x)=0$
donc $P_x(f|E_x)=0$ et donc $\pi_{f|E_x}|P_x$ d'où l'égalité (à cause du fait que les coef dominants sont les mêmes)
Comme $P_x=\pi_f$ on en déduit que $\pi_{f|E_x}=\pi_f$, donc
$\pi_{f|E_x}=\pi_{f|E_y}$, donc $P_1=Q_1$
Après on applique le même raisonnement aux suppémentaires de $F_1$ et $G_1$ et je n'ai pas le courage d'écrire la récurrence proprement c'est vraiment très lourd surtout en latex.