Coefficients binomiaux et partie entière

j'ai appuyé sur "envoyer" au lieu de "aperçu", j'avais pas fini

je t'ai fait remarquer que l'indice k peut varier de 1 à n dans cette somme $$\sum_{k=0}^{n} \text{C}_{n-1}^{k-1}\text{C}_{n-1}^{n-k} =\sum_{k=1}^{n} \text{C}_{n-1}^{k-1}\text{C}_{n-1}^{n-k}$$

on peut faire un changement d'indice $l=k-1$, et $l$ varie de 0 à n-1
$\sum_{k=1}^{n} \text{C}_{n-1}^{k-1}\text{C}_{n-1}^{n-k} =\sum_{l=0}^{n-1} \text{C}_{n-1}^{l}\text{C}_{n-1}^{n-1-k}$

après la forume suivante va être un aide très précieux :
$(n,p,q)$ de $\N^{3}$ tel que $n \leq p+q$ :
$\sum_{k=0}^{n} \text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{n-k}=\text{C}_{p+q}^{n}.$

Je te laisse te débrouiller maintenant, je verrai ce soir si tu as encore besoin de moi

Pour démontrer $\sum_{k=0}^{n}\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{n-k} =\text{C}_{p+q}^{n}.$

il suffit d'utiliser la forumle du binôme de Newton:

$$(1+x)^p(1+x)^q=\sum_{k=0}^{p}\text{C}_{p}^{k}x^k\times \sum_{l=0}^{q}\text{C}_{q}^{l} x^l =\sum_{i=0}^{p+q}(\sum_{k+l=i}\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{l})x^i =\sum_{i=0}^{p+q}(\sum_{k=0}^i\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{i-k})x^i$$

en prenant toujours les conventions $\text{C}_{p}^{k}=0$ si kp,

par ailleurs $$(1+x)^{p+q}=\sum_{i=0}^{p+q}\text{C}_{p+q}^{i}x^i$$

Par identification des coefficients du polynôme tu en déduis ta formule

pardon une erreur de frappe, le dernier calcul donne $\frac{2}{n} C_{2n-2}^{n-1}$

pour avoir $f(l)=f(k)$, vu qu'on a des combinaisons vu la tête de $f$ il vaut mieu poser $l=n-k=2p+1-k$
Ce changement d'indice est une symétrie par rapport à n/2. Tandis que ton changement de variable n'est pas une symétrie mais une translation.
La symétrie dans les calculs est une chose qu'on apprend pas dans les cours mais qu'on apprend dans la pratique.
Et c'est joli les symétrie, bien plus joli que les translations.

reprend donc le changement de variable $l=n-k$

Bonsoir.

Pourquoi utiliser le binôme pour démontrer $\sum_{k=0}^{n}\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{n-k} =\text{C}_{p+q}^{n}$ ?

$\text{C}_{p+q}^{n}$ est le nombre de façons de choisir n éléments parmi p+q, ou encore, n éléments dans l'ensemble $\{1,..,p+q\}$.

A k fixé $\text{C}_{p}^{k}$ est le nombre de façons de choisir k éléments parmi p, ou encore, k éléments dans l'ensemble (disons parmi $\{1,..,p\}$) et $\text{C}_{q}^{n-k}$ le nombre de façons de choisir n-k éléments parmi q, ou encore, n-k éléments dans l'ensemble $\{p+1,..,p+q\}$).
Par suite $\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{n-k}$ est le nombre de façons de choisir k+(n-k)=n éléments dans l'ensemble $\{1,..,p+q\}$, tels que les k premiers soient dans $\{1,..,p\}$ et les n-k suivant dans $\{p+1,..,p+q\}$.
Et donc, $\sum_{k=0}^{n}\text{C}_{p}^{k}\text{C}_{q}^{n-k}$ est le nombre de façons de choisir n éléments parmi p+q.

Ca a l'air plus long comme ça vu que j'ai beaucoup délayé, mais c'est assez immédiat. Plus qu'avec le binôme il me semble.

Tout à fait, ce que tu viens de dire, je l'avais eu en colle quand j'étais en prépas, c'était "calculer de 2 manières l'espression suivante" mais malheureusement, très peu de calculs sont faisable comme ça et le binôme est un moyen disons "bourrin" qui permet de trouver beaucoup plus de formules.
Mais j'ai bien dit "il suffit d'utiliser la forumle du binôme de Newton:" et non pas "il est nécessaire",

Mais je préfère ce petit raisonnement