Exo Espace Algébrique Affine
dans Algèbre
Je cherche une démonstration la plus simple possible (je crois en avoir une mais j'ai l'impression d'avoir réinventé la roue 10 fois, et puis j'utilise un truc qui me chiffonne, à savoir une clôture algébrique) de ça :
Soit $F\in K[X,Y]$ irréductible (aucune hypothèse sur $K$ a priori) et $V = \{(x,y)\in K : F(x,y) = 0\}$. On note $I(V) = \{P\in K[X,Y] : \forall (x,y)\in V,\ P(x,y)=0\}$. Montrer que $I(V) = (F)$.
Soit $F\in K[X,Y]$ irréductible (aucune hypothèse sur $K$ a priori) et $V = \{(x,y)\in K : F(x,y) = 0\}$. On note $I(V) = \{P\in K[X,Y] : \forall (x,y)\in V,\ P(x,y)=0\}$. Montrer que $I(V) = (F)$.
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Réponses
Je pense que ce que j'ai fait est faux, mais je vois pas pourquoi. Je vous le soumet donc :
$I(V)$ est un idéal de $K[X,Y]$ qui contient $F$ donc $(F)\subset I(V)$.
Par ailleurs, l'inclusion réciproque est évidente, d'où l'égalité.
En plagiant Toto.le.zero:
En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.
Cédric.
D'ailleurs en toute généralité la proposition est fausse : par exemple si $F(X,Y)=X^2$ alors $I(V)=(X) \neq (X^2)$. Il faut utiliser l'hypothèse "$F$ irréductible" donnée par le Furet.
$I(V)=\{G\in \C[X,Y]\mid \exists n\in\N^*,\ G^n\in(F)\}$.
Comme $F$ est irréductible on a donc
$I(V(F))=(F)$.
Mille excuses.
Bien vu YB.
Pour la quatrieme fois depuis midi, j'essaie de poster sur ce fil... Desole si tous les messages apparaissent soudainement l'un apres l'autre.
Je voulais donc dire qu'on peut meme generaliser comme suit.
Soit $P$ un ideal premier (reduit suffit) de $K[X_1,...,X_n]$, et $V(K)$ l'ensemble des zeros communs de $P$ dans $K^n$. Si $V(K)$ est Zariski dense dans la variete algebrique definie par P (cette variete peut etre identifiee a $V(L)$ pour $L$ une cloture algebrique de $K$), alors $I(V(K))=P$.
Pour ta question, puisque $V(K)$ est infini et que la variete en question est une courbe, l'hypothese de densite est automatiquement satisfaite, d'ou la chose.
Je vous laisse traiter cette generalisation a titre d'exercice, en sachant qu'on ne pourra surement pas se passer du Nullstellensatz.
a+
AG.
Soit $P$ un ideal premier (reduit suffit) de $K[X_1,...,X_n]$, et $V(K)$ l'ensemble des zeros communs de $P$ dans $K^n$. Si $V(K)$ est Zariski dense dans la variete algebrique definie par P (cette variete peut etre identifiee a $V(L)$ pour $L$ une cloture algebrique de $K$), alors $I(V(K))=P$.
Pour ta question, puisque $V(K)$ est infini et que la variete en question est une courbe, l'hypothese de densite est automatiquement satisfaite, d'ou la chose.
Je vous laisse traiter cette generalisation a titre d'exercice, en sachant qu'on ne pourra surement pas se passer du Nullstellensatz.
a+
AG.