diagonalisation

bonjour

les valeurs propres associées à M sont r1; r2 et r3; les valeurs propres associées à M² sont r1², r2² et r3²

à partir de la matrice M² on calcule les valeurs propres et on trouve
r1²=9; r2²=4 et r3²=1 et donc

r1=+ou-3
r2=+ou-2
r3=+ou-1

tu tombes sur un système matriciel (avec A, B et C matrices 3X3):

I=A+B+C
M=A.r1+B.r2+C.r3
M²=A.r1²+B.r2²+C.r3²

M² est connue; il faut tester à présent les valeurs trouvées r1, r2 et r3 et essayer d'en déduire A, B et C, d'où la matrice M

cordialement

plu simple, on remarque que $M^2$ est diagonalisable. Soit P telle que $PM^2P^{-1}$ soit diagonale. On remarque alors que $PMP^{-1}$ commute avec $PM^2P^{-1}$, donc stabilise ses espaces propres, donc est diagonale et on en déduit $M$
Le boulot consiste maitenant juste a trouver $P$, ie à trouver des vecteurs propres de $M^2$... et vu la forme de la matrice, c'ets pas très dur

Attention, une matrice qui commute avec une matrice diagonalisable ou diagonale n'est pas forcément diagonalisable (penser à l'identité qui commute avec tout le monde). Ici ça marche car $M^2$ a 3 valeurs propres simples...