On définit un endomorphisme comme une application d'un objet dans lui-même qui respecte les diverses lois. Il faut donc bien établir que $f$ est une application avant tout autre propriété.
On ne peut pas dire dans un énoncé
"démontrer rigoureusement que f est un endomorphisme"
sans avoir déclaré au préalable $f$.
On ne parle pas d'une variable, d'une constante ou d'un paramètre sans l'avoir au préalable déclaré, c-à-d sans avoir dit auparavant dans quel ensemble il se situe.
Donc avant cette phrase, on doit trouver par exemple dans l'énoncé :
Soit $f$ une application de l'ensemble $X$ dans l'ensemble $Y$ définie par etc
Il y a lieu éventuellement de prouver la cohérence de la définition de $f$. Mais si cette cohérence est triviale, inutile d'en parler, cela va de soi.
Lorsque l'ensemble de départ n'est pas aussi régulier qu'un espace vectoriel, il convient de vérifier que l'application est bien définie (c'est sans doute ce qu'Archimède appèle la cohérence de la définition).
Par exemple : $f : \Z/n\Z \rightarrow G$, il faut vérifier que tous les éléments de chaque classe $\pmod{n}$ ont la même image par $f$, sinon $f$ est mal définie c'est à dire ce n'est pas une application (au moins un élément de départ -une classe- a 2, ou plus, images différentes).
Réponses
On définit un endomorphisme comme une application d'un objet dans lui-même qui respecte les diverses lois. Il faut donc bien établir que $f$ est une application avant tout autre propriété.
Bruno
"démontrer rigoureusement que f est un endomorphisme"
sans avoir déclaré au préalable $f$.
On ne parle pas d'une variable, d'une constante ou d'un paramètre sans l'avoir au préalable déclaré, c-à-d sans avoir dit auparavant dans quel ensemble il se situe.
Donc avant cette phrase, on doit trouver par exemple dans l'énoncé :
Soit $f$ une application de l'ensemble $X$ dans l'ensemble $Y$ définie par etc
Il y a lieu éventuellement de prouver la cohérence de la définition de $f$. Mais si cette cohérence est triviale, inutile d'en parler, cela va de soi.
pour montrer que f est un endomorphisme de L(E), "il y a bel et bien deux choses à vérifier et non une":
1) f est est à valeurs dans E,
2) f est linéaire.
Lorsque l'ensemble de départ n'est pas aussi régulier qu'un espace vectoriel, il convient de vérifier que l'application est bien définie (c'est sans doute ce qu'Archimède appèle la cohérence de la définition).
Par exemple : $f : \Z/n\Z \rightarrow G$, il faut vérifier que tous les éléments de chaque classe $\pmod{n}$ ont la même image par $f$, sinon $f$ est mal définie c'est à dire ce n'est pas une application (au moins un élément de départ -une classe- a 2, ou plus, images différentes).
Alain