endomorphisme et diagonalisation

robby30 · October 2006

Bonjour à toutes et à tous, je rencontre un petit problème pour résoudre un exercice qui me paraissait basique : (V un ev sur C de dim finie =n, considéré aussi comme un ev de R de dim=2n)
Il faut répondre par vrai ou faux et justifier les réponses :
a) Tout C-endomorphisme de V est aussi un R-endomorphisme.
b) Tout R-endomorphisme de V est aussi un C endomorphisme
c) Si un C-endomorphisme de V est R-diagonalisable, alors il est également C-diagonalisable
d) Si un C-endomorphisme de V est C-diagonalisable alors il est également R-diagonalisable.

Pour la b) j'ai dis que comme R est inclus dans C, tout endomorphisme de R est endomorphisme de C. De même pour la a) la proposition est fausse car si f est C-diagonalisable, la linéarité de f est aussi vraie pour le scalaire i qui n'appartient pas à R
Pour la c) si f un C-endomorphisme de V est R-diagonalisable, son polynôme minimale est scindé a racines simples dans R donc aussi dans C d'ou la proposition est vraie.
Et enfin pour la d) la proposition est fausse pour la même raison que précédemment (polynôme minimal scindé à racines simples dans C, mais ces racines ne sont pas forcémment dans R, un contre exemple est le plynome minimal X(X^2+14) )
Je voudrais savoir si mes réponses sont exactes et il me faudrait un petit coup de main pour les deux propositions suivantes :

e) Si un K-endomorphisme f est K-diagonalisable alors f^2006 est K-diagonalisable.
f) Si un C-endomorphisme f est tel que f^2006 soit C-diagonalisable alors f est C_diagonalisable (même chose en remplaçant R par C)

Merci d'avance de vos réponses ou de vos idées et à bientôt.

egoroff · October 2006

Salut,

Pour la a) et la b) tu as répondu complètement à l'envers. "Qui peut le plus peut le moins", c'est-à-dire que si la linéarité est vraie pour les scalaires complexes elle l'est en particulier pour les scalaires réels. En revanche si tu supposes qu'une application est seulement $\R$-linéaire, il n'y aucune raison que la propriété se prolonge pour les scalaires complexes. Par exemple l'application partie réelle vue comme une application de $\C$ dans lui-même est $\R$-linéaire mais pas $\C$-linéaire.

Même type de raisonnement pour la c) et la d).

Archimède · October 2006

a) vrai car $\R\subset\C$

b) faux
Par exemple si $V=\C=\R^2$.
Les $\C$-endomorphismes sont de la forme $\lambda\,\hbox{id}$.
Mais $u(x,y)=x$ est un $\R$-endomorphisme.

c) Soit $u$ un $\C$-endomorphisme.
Attention : sur $\R$ et sur $\C$ les polynômes minimaux (unitaires) ne sont pas les mêmes. Pour les polynômes caractéristiques, sur $\R$ il est de degré $2n$ et sur $\C$ de degré $n$...
Par exemple si $V=\C=\R^2$, $u(z)=iz$, alors
sur $\C$ : $\mu_u^\C=X-i$
sur $\R$ : $\mu_u^\R=X^2+1$

On a toujours $\mu_u^\C$ divise $\mu_u^\R$
donc si $u$ est $\R$ diagonalisable, alors $u$ est $\C$-diagonalisable.

d) Soit $u$ $\C$-diagonalisable. Alors il peut ne pas être $\R$-diagonalisable.
Par exemple $V=\C=\R^2$, $u(z)=iz$.
Alors $u$ est $\C$-diagonalisable.
Mais sur $\R$ c'est la rotation d'angle $\pi/2$, donc ça n'est pas diagonalisable...

e) Oui, c'est trivial...

f) sur $\C$ la réponse est : $f$ sera $\C$-diagonalisable ssi $\hbox{Ker}(f)=\hbox{Ker}(f^{2006})$. Je vous laisse le prouver.

f) sur $\R$ c'est faux en général.
Prenons $V=\R^2$, $f$ la rotation d'angle $2\pi/2006$.
Alors $f^{2006}=\hbox{id}$ est diagonalisable, mais $f$ ne l'est pas.

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