morphisme dans le plan

mel2 · October 2006

bonjour ...
soit l'application:
(R²,+)-->(R²,+)

f(x;y)=(3x+2y;7y)

Donc il faut d'abord que je montre si c'est un morphisme :
je dirais que oui mais je ne sais pas si ce que j'écris est bon :

f(1;2)=(7;14)
f(1;3)=(9;21)
f(1;2)+f(1+3)=(16;35)

or

f((1+1);(2+3))=f(2;5)=(16;35)=f(1;2)+f(1+3)
donc c'est un morphisme.

D'autre part f est-elle une bijection ?
J'ai dis que oui car à chaque point du plan j'associe un autre point du plan
Mais si ma réponse est bonne je dois calculer la fonction réciproque et la je sèche !
Merci

Guimauve · October 2006

Salut

Je suis peut-être complètement à l'ouest mais je ne comprends pas pourquoi tu vérifies si f est un morphisme seulement sur un cas particulier. Il faut le vérifier pour tous les couples de réels !

Pour la bijectivité, ta réponse est curieuse également. On te demande si elle est bijective et tu réponds que oui, elle est bijective, car elle est bijective ! Mais il faut le montrer, pas seulement le dire ! En l'occurence ce n'est pas très compliqué, il suffit d'utiliser le fait que (a,b)=(a',b') si et seulement si a=a' et b=b' (c'est la définition de l'égalité de deux couples) et de revenir à la définition de l'injectivité et de la surjectivité.

mel2 · October 2006

bonjour ...
soit l'application:
(R²,+)-->(R²,+)

f(x;y)=(3x+2y;7y)

Donc il faut d'abord que je montre si c'est un morphisme:
je dirai que oui mais je sais pas si ce que j'écris est bon:

f(a;b)=(3a+2b;7b)
f(a';b')=3a'+2b';7b')
f(a;b)+f(a';b')=(3(a+a')+2(b+b');7(b+b'))

or

f((a+a');(b+b'))=(3(a+a')+2(b+b');7(b+b'))
donc c'est un morphisme.

D'autre par si f est elle une bijection:
je dois calculer la fonction reciproque et la je seche!
merci

jobherzt · October 2006

en gros, comme tu as

$$f(x,y)=(a,b)$$

il faut exprimer x et y en fonction de a et b.

il te suffit donc de resoudre l'equation :

$$\begin{cases}
a=&3x+2y \\
b=&7y
\end{cases}
$$

d'inconnu x et y, ce qui ne devrait pas etre trop dur...

morphisme dans le plan

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Bonjour!

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