Endomorphismes cycliques
dans Algèbre
Bonjour à tous! Connaissez-vous des démonstrations de la propriété suivante :
L'ensemble des matrices (sur un corps commutatif quelconque) carrées d'ordre n dont le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont égaux (au signe près) est un ouvert ?
Je connais une démo utilisant l'application :
f : M -> (Tr(M),Tr(M^2),...,Tr(M^n) :
on la différencie, et on montre que si M est une matrice, alors rg(df(M))=deg(pol minimal(M)).
Je veux une autre démo ! :-)
L'ensemble des matrices (sur un corps commutatif quelconque) carrées d'ordre n dont le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont égaux (au signe près) est un ouvert ?
Je connais une démo utilisant l'application :
f : M -> (Tr(M),Tr(M^2),...,Tr(M^n) :
on la différencie, et on montre que si M est une matrice, alors rg(df(M))=deg(pol minimal(M)).
Je veux une autre démo ! :-)
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Réponses
Voici une preuve très courte :
Soit $u$ tel que $\pi_u = \chi_u$. Il existe $a$ tel que $(a, u(a), \ldots, u^{n-1}(a))$ forme une base de $E$. Alors pour tout $v$ au voisinage de $u$, $(a, v(a), \ldots, v^{n-1}(a))$ est une base de $E$, d'où $\pi_v = \chi_v$.
Mézalor.
dont le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont égaux (au signe près) sont appelés cycliques et sont aussi caractérisés par l'existence d'une base de $E$ $u$-cyclique, ce qu'utilise Mezalor. Etre une base est une condition ouverte car équivalente à la non nullité d'un déterminant...
en l'occurence ici
$$x\mapsto \det(x,v(x), \hdots, v^{n-1}(x))$$
$$v \mapsto \det(a,v(a), \hdots, v^{n-1}(a))$$
Au fait Victor Emmanuel parle de matrice sur un corps commutatif QUELCONQUE puis parle d'ouvert, on peut peut-être se restreindre du coup à $\R$ ou $\C$...
Même s'il me semble quelqu'un peut peut-être confirmer, l'ensemble des endos cycliques est le complémentaire d'un ensemble algébrique (ensemble de zéros de polynômes), et donc est peut-être un ouvert pour la topologie de Zariski, mais bon c'est peut-être une connerie
l'ensemble des endos cycliques sur $E$ est
$$\bigcup_{x\in E}\{u\in E \quad| \det(x,u(x), \hdots, u^{n-1}(x))\neq 0\}$$
(x/x-1)+(x+1/x)=x²-6x-10/x(x-1)
avec x$\neq$0 et x$\neq$1
Comme les cycliques contiennent les diagonalisables à spectre simple, qui forment une partie dense de $M_n(\C)$, $\mathcal_{\C}$ est un ouvert dense de $M_n(\C)$, c'est donc une "grosse" partie.
Qu'en est-il de la connexité?
[Pour le modérateur, peut-être peut-on changer le titre du post en endos cycliques]
Sur R penser aux matrices compagnons et à GL(n,R)^+
Très intéressant cette étude topologique des endomorphismes cycliques.
Une troisième caractérisation des endomorphismes cycliques:
$u$ cyclique si st si $C(u)=\K(u)$ où $C(u)$ est le commutant de $u$.
Bonne soirée
Autre caractérisation : le commutant est commutatif
$C(u)=\K$
Aujourd'hui, je te sollicite trop pour corriger mes erreurs ; merci beaucoup Alain.
utiliser le fait qu'une matrice est cyclique ssi elle est semblable à
une matrice compagnon. L'ensemble des matrices cycliques de taille $n$
est donc l'image du connexe $GL_n(\C) \times \C_n[X]$ par
l'application continue
$$(P,Q) \mapsto PC_QP^{-1}$$ où $C_Q$ désigne la matrice compagnon de $Q$.
Pour popoytrifxhiyi, je n'ai pas utilisé ta méthode car je n'arrive pas
à justifier que les diago à spectre simple forment une partie connexe
(c'est un cône mais épointé...)
Pour $\R$, ce qui bloque c'est que $GL_n(\R)$ n'est plus connexe, mais
d'après ton indication il faudrait conjuguer avec des matrices de
$GL_n^+(\R)$ qui lui est connexe... je veux bien une indication
supplémentaire.
merci
pour le cas réel, examiner quand le commutant d'une matrice compagnon est ou non contenu dans GL(n,R)^+.