Matrices
dans Algèbre
Si A et B sont deux matrices réelles telles que tAA=tBB, montrer l'existence de O orthogonale telle que A=OB. ^^
Réponses
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beau problème.
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En supposant A inversible (et donc aussi
on a
$A=AB^{-1}B$ et ta relation montre que $AB^{-1}$ est orthogonale. -
Merci c'est gentil. Et une belle solution, t'en as une? ;-)
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Avec la décomposition polaire, ça va tout seul : $A$ s'écrit $A=O_1 S_1$ avec $O_1$ orthogonale et $S_1$ symétrique positive. De même pour $B$ qui s'écrit $O_2 S_2$.
La relation $^t A A = ^t B B$ donne $S_1=S_2$, on en déduit le résultat... -
Merci pour cette solution élégante! Mais j'aimerais approfondir celle de Chris. Est-il possible d'utiliser un argument de densité?
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La décomposition polaire c'est valable sans conditions ? Il me semble qu'on se retrouve avec des matrices à vecteurs propres ortho ...
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Bonjour!
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